Tipos de geometría
Hasta el siglo XIX, la geometría se dedicaba casi exclusivamente a la geometría euclidiana,[a] que incluye las nociones de punto, recta, plano, distancia, ángulo, superficie y curva, como conceptos fundamentales[2].
Durante el siglo XIX, varios descubrimientos ampliaron drásticamente el alcance de la geometría. Uno de los descubrimientos más antiguos es el Teorema Egregium (“teorema notable”) de Gauss, que afirma a grandes rasgos que la curvatura gaussiana de una superficie es independiente de cualquier incrustación específica en un espacio euclidiano. Esto implica que las superficies pueden estudiarse intrínsecamente, es decir, como espacios independientes, y se ha ampliado a la teoría de los múltiples y la geometría de Riemann.
Más adelante, en el siglo XIX, apareció que se pueden desarrollar geometrías sin el postulado de las paralelas (geometrías no euclidianas) sin introducir ninguna contradicción. La geometría que subyace a la relatividad general es una famosa aplicación de la geometría no euclidiana.
Desde entonces, el ámbito de la geometría se ha ampliado enormemente, y el campo se ha dividido en muchos subcampos que dependen de los métodos subyacentes -geometría diferencial, geometría algebraica, geometría computacional, topología algebraica, geometría discreta (también conocida como geometría combinatoria), etc. -o de las propiedades de los espacios euclidianos que se ignoran-, la geometría proyectiva que considera sólo la alineación de los puntos pero no la distancia y el paralelismo, la geometría afín que omite el concepto de ángulo y distancia, la geometría finita que omite la continuidad, y otras.
Resumen de la historia de la geometría
El proyecto más grandioso de las matemáticas ha recibido un raro regalo, en forma de un gigantesco artículo de 350 páginas publicado en febrero que cambiará la forma en que los investigadores de todo el mundo investigan algunas de las cuestiones más profundas del campo. El trabajo da forma a un nuevo objeto geométrico que cumple un sueño audaz, antes fantasioso, sobre la relación entre la geometría y los números.
El trabajo es una colaboración entre Laurent Fargues del Instituto de Matemáticas de Jussieu en París y Peter Scholze de la Universidad de Bonn. Abre un nuevo frente en el largo “programa Langlands”, que trata de vincular ramas dispares de las matemáticas -como el cálculo y la geometría- para responder a algunas de las preguntas más fundamentales sobre los números.
En el centro del trabajo de Fargues y Scholze se encuentra un objeto geométrico revitalizado llamado curva de Fargues-Fontaine. Fue desarrollada por primera vez alrededor de 2010 por Fargues y Jean-Marc Fontaine, que fue profesor de la Universidad de París-Sud hasta que murió de cáncer en 2019. Después de una década, la curva recién alcanza su forma más elevada.
Qué es la geometría diferencial
La geometría (del griego antiguo: γεωμετρία; geo- “tierra”, -metron “medida”) surgió como el campo del conocimiento que trata de las relaciones espaciales. La geometría era uno de los dos campos de las matemáticas premodernas, el otro era el estudio de los números (aritmética).
La geometría clásica se centraba en las construcciones con compás y regla. La geometría fue revolucionada por Euclides, que introdujo el rigor matemático y el método axiomático que aún se utiliza hoy en día. Su libro, Los Elementos, está considerado como el libro de texto más influyente de todos los tiempos, y fue conocido por todas las personas cultas de Occidente hasta mediados del siglo XX[1].
En los tiempos modernos, los conceptos geométricos se han generalizado hasta un alto nivel de abstracción y complejidad, y se han sometido a los métodos del cálculo y el álgebra abstracta, de modo que muchas ramas modernas del campo son apenas reconocibles como descendientes de la geometría primitiva. (Véase Áreas de las matemáticas y Geometría algebraica).
Los inicios más antiguos de la geometría se remontan a los pueblos primitivos, que descubrieron los triángulos obtusos en el antiguo valle del Indo (véase Matemáticas Harappan) y en la antigua Babilonia (véase Matemáticas Babilónicas), alrededor del año 3000 a.C. La geometría primitiva era un conjunto de principios descubiertos empíricamente en relación con las longitudes, los ángulos, las áreas y los volúmenes, que se desarrollaron para satisfacer alguna necesidad práctica en la topografía, la construcción, la astronomía y diversos oficios. Entre estos principios se encuentran algunos sorprendentemente sofisticados, y un matemático moderno difícilmente podría deducir algunos de ellos sin el uso del cálculo y el álgebra. Por ejemplo, tanto los egipcios como los babilonios conocían versiones del teorema de Pitágoras unos 1.500 años antes de que Pitágoras y los Sulba Sutras indios, en torno al 800 a.C., contenían los primeros enunciados del teorema; los egipcios disponían de una fórmula correcta para el volumen del tronco de una pirámide cuadrada.
Desarrollo de la geometría en diferentes culturas
El 14 de octubre de 2010, la comunidad científica perdió a un gran colega, visionario y amigo al fallecer Benoit Mandelbrot a la edad de 85 años en Cambridge, Massachusetts. Al Dr. Mandelbrot le sobreviven su esposa Aliette, dos hijos, Laurent y Didier, y tres nietos.
“Aunque la historia de un inconformista no es en absoluto un ejemplo a seguir, puede llevar el siguiente mensaje útil: una buena pizca de diversidad es tan indispensable para el buen funcionamiento y la supervivencia de la ciencia como para el bienestar de la sociedad en su conjunto”.
“Puede ser cierto que las personas que piensan mejor en formas tienden a dedicarse a las artes, y que las personas que se dedican a la ciencia o a las matemáticas son las que piensan en fórmulas. Por este motivo, se podría argumentar que me equivoqué al dedicarme a la ciencia, pero no lo creo. En cualquier caso, tuve la suerte de poder -al final- idear una forma privada de combinar las matemáticas, la ciencia, la filosofía y las artes”.
Geometría. Sus principios se enseñan a los jóvenes estudiantes de todo el mundo. El teorema de Pitágoras. Superficie y volumen. Pi. Esta geometría clásica, o euclidiana, se adapta perfectamente al mundo que el ser humano ha creado. Pero si se consideran las estructuras presentes en la naturaleza, las que están más allá del ámbito de la construcción humana lisa y llana, muchas de estas reglas desaparecen. Las nubes no son esferas perfectas, las montañas no son conos simétricos y los rayos no viajan en línea recta. La naturaleza es áspera, y hasta hace muy poco esta rugosidad era imposible de medir. El descubrimiento de la geometría fractal ha permitido explorar matemáticamente los tipos de irregularidades rugosas que existen en la naturaleza.