Ecuaciones de primer grado con fracciones
Una ecuación lineal es una ecuación en la que la mayor potencia de la variable es siempre 1. También se conoce como ecuación de un grado. La forma estándar de una ecuación lineal en una variable es de la forma Ax + B = 0. Aquí, x es una variable, A es un coeficiente y B es una constante. La forma estándar de una ecuación lineal en dos variables es de la forma Ax + By = C. Aquí, x e y son variables, A y B son coeficientes y C es una constante.
Una ecuación que tiene el mayor grado de 1 se conoce como ecuación lineal. Esto significa que ninguna variable en una ecuación lineal tiene un exponente mayor que 1. La gráfica de una ecuación lineal siempre forma una línea recta.
Definición de ecuación lineal: Una ecuación lineal es una ecuación algebraica donde cada término tiene un exponente de 1 y cuando esta ecuación se grafica, siempre resulta en una línea recta. Por esta razón se denomina “ecuación lineal”.
La fórmula de la ecuación lineal es la forma de expresar una ecuación lineal. Se puede hacer de diferentes maneras. Por ejemplo, una ecuación lineal puede expresarse en la forma estándar, en la forma pendiente-intercepto o en la forma punto-pendiente. Ahora, si tomamos la forma estándar de una ecuación lineal, aprendamos la forma en que se expresa. Podemos ver que varía de un caso a otro en función del número de variables y hay que recordar que el mayor (y único) grado de todas las variables de la ecuación debe ser 1.
Hojas de trabajo para resolver ecuaciones de primer grado
Eliminación de fracciones en las ecuacionesUn sistema de ecuaciones implica la resolución de dos o más ecuaciones al mismo tiempo. Un método para resolver una colección, o un sistema de ecuaciones, con fracciones es deshacerse de las fracciones por completo. Recuerda que las fracciones son sólo una forma de representar la división. Por ejemplo, 11/12 es lo mismo que 11 dividido por 12. Para deshacernos de la fracción, podemos utilizar lo contrario de la división, que es la multiplicación. Lo contrario de dividir por 12 es multiplicar por 12. Observa lo que ocurre con la fracción cuando multiplicamos la ecuación (11/12)x + 5 = 27 por 12. Al multiplicar ambos lados de la ecuación por el denominador de la fracción, logramos deshacernos de la fracción. Es importante recordar que hay que multiplicar toda la ecuación por el denominador, no sólo un término o un lado. Tener una ecuación con sólo números enteros facilitó mucho la resolución de x. Ahora veamos cómo podemos aplicar esto para resolver un sistema de ecuaciones con fracciones.
Las fracciones de la segunda ecuación tienen dos denominadores diferentes: 4 y 6. Multiplicando por 4 eliminaremos la primera fracción, pero no las otras. Si multiplicamos por 6, eliminaremos la segunda y la tercera ecuación, pero no la primera. Para eliminar las tres fracciones, necesitamos encontrar un múltiplo común para ambos denominadores: 12 es un múltiplo tanto de 4 (4 * 3 = 12) como de 6, (6 * 2 = 12), así que podemos multiplicar toda la ecuación por 12.
Ecuación de primer grado en dos variables
Este método funcionó bien, pero muchos estudiantes no se sienten muy seguros cuando ven todas esas fracciones. Así que vamos a mostrar un método alternativo para resolver ecuaciones con fracciones. Este método alternativo elimina las fracciones.
Aplicaremos la propiedad de multiplicación de la igualdad y multiplicaremos ambos lados de una ecuación por el mínimo común denominador de todas las fracciones de la ecuación. El resultado de esta operación será una nueva ecuación, equivalente a la primera, pero sin fracciones. Este proceso se llama despejar la ecuación de fracciones. Volvamos a resolver la misma ecuación, pero esta vez utilizando el método que borra las fracciones.
Observa en la (Figura) que, una vez despejada la ecuación de fracciones, la ecuación es como las que hemos resuelto anteriormente en este capítulo. ¡Hemos cambiado el problema por uno que ya sabíamos resolver! A continuación, utilizamos la estrategia general para resolver ecuaciones lineales.
Algunas ecuaciones tienen decimales. Este tipo de ecuaciones se presentan cuando resolvemos problemas que tienen que ver con el dinero y los porcentajes. Pero los decimales son en realidad otra forma de representar fracciones. Por ejemplo, y Así, cuando tenemos una ecuación con decimales, podemos usar el mismo proceso que usamos para despejar fracciones-multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador.
Ejemplos de ecuaciones de primer grado en una variable
Las ecuaciones son de primer grado cuando pueden escribirse en la forma ax + b = c, donde x es una variable y a, b y c son constantes conocidas y a ¡a!=0. Discutimos las técnicas para resolver ecuaciones de primer grado en la sección 3.4 y de nuevo en la sección 3.5 al tratar las fórmulas. Además, encontrar las soluciones a las proporciones discutidas en las secciones 6.6 y 6.7 implica resolver ecuaciones de primer grado.
Este tema es uno de los más básicos e importantes para cualquier estudiante principiante de álgebra y se presenta de nuevo aquí para reforzarlo positivamente y como preparación para resolver una variedad de aplicaciones en las secciones 7.3, 7.4 y 7.5.
Hay exactamente una solución para una ecuación de primer grado en una variable. Esta afirmación puede demostrarse por el método de la contradicción. La prueba no se da aquí. Las ecuaciones que tienen más de una solución se discutirán en los capítulos 8, 9 y 10.
Esta última técnica tiene la ventaja de dejar sólo los coeficientes enteros y las constantes. Si hay más de una fracción, entonces cada término debe ser multiplicado por el LCM de los denominadores de las fracciones.