Ejemplo de raíz positiva
Me preguntaba si existe alguna función de Matlab que me permita retener sólo la raíz positiva de una ecuación cuadrática. Quiero usar esa función junto con la función ‘roots’ para resolver n número de ecuaciones cuadráticas para obtener n número de raíces positivas.x=zeros(1,n)for i=1:nx(i)=function(roots([a(i) b(i) c(i)]))end
Joel, roots() devuelve un vector de valores. roots() es un paso ya conocido. La cuestión es, pues, escribir una función que examine un vector de valores y devuelva los valores positivos (reales) del vector. Así que donde el cartel original había escritox=zeros(1,n)for i=1:nx(i)=function(roots([a(i) b(i) c(i)]))endusando “function” como sustituto del nombre de la función para hacer la selección deseada, se podría escribir comox=zeros(1,n)for i=1: nx(i)=Extraer_positivo(raíces([a(i) b(i) c(i)]))endfunción apos = Extraer_positivo(a) apos = a(a > 0);que es un código que sólo tiene que preocuparse de los elementos de una matriz.
Raíz positiva de una ecuación cuadrática
Si esta función tiene una raíz entre 1 y 2, entonces en algún valor de #x# entre #x=1# y #x=2#, la ecuación será igual a 0. Lo que también significa que, en algún punto de un lado de esta raíz, la ecuación es positiva, y en algún punto del otro lado, es negativa.
Acabamos de utilizar el Teorema del Valor Intermedio o (IVT). Si no estás seguro de lo que es, una descripción rápida es que, si una función continua es menor que #c# cuando #x=a# y es mayor que #c# cuando #x=b#, entonces en algún punto entre #a# y #b#, la función debe ser igual a #c.#
La IVT sólo es aplicable a funciones continuas (o funciones que son continuas en el intervalo de interés). Por suerte, todos los polinomios en #x# son continuos en todas partes, por lo que podemos utilizar la IVT aquí.
Raíz positiva de 121
son reales y positivas. A partir de la fórmula cuadrática, vemos que las raíces de \(\eqref{eq:1}\) son de la forma \frac{b\pm\sqrt{b^2-4c}{2}.\] Para que la raíz o raíces sean reales, requerimos que \(b^2-4c \geq 0\), es decir, \(b^2 \geq 4c\). Para que sean positivas, requerimos que \[b-\sqrt{b^2-4c}>0.\N-Esto nos dice inmediatamente que \(b > 0\), pero podemos ir más allá. Podemos reorganizar esto para obtener \[b > \sqrt{b^2-4c},\] que (suponiendo que \(b>0\)) es cierto si y sólo si \[b^2 > b^2-4c,\] ya que ambos lados de la desigualdad son positivos por lo que podemos cuadrar. Pero entonces \[4c > 0,\] Es decir, si las raíces son reales y positivas entonces \(b>0\) y \(b^2 \geq 4c>0\).
Así que queda por demostrar que \(b-\sqrt{b^2-4c}>0\). Tenemos que \[4c>0,\Npor lo que \[b^2>b^2-4c,\Nentonces el enraizamiento cuadrado muestra que \[b>sqrt{b^2-4c},\Npor lo que las raíces de \N(\Neqref{eq:1}\Nson reales y positivas, como se requiere.
Al resolver problemas sobre las raíces de los polinomios, a menudo es útil encontrar expresiones que deben satisfacer esas raíces y ver si esto nos dice algo nuevo. Si \(\alpha\) y \(\beta\) denotan las raíces de la ecuación, entonces
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas con raíces positivas
Al calcular individualmente, he encontrado que el valor dentro de la raíz cuadrada es negativo. ¿Debería añadir algunas funciones adicionales para permitir el cálculo de la raíz negativa, o hay algo más que está mal en mi enunciado?
Sea f(x) = ax² + bx + c. Si quieres resolver f(x) = 0 en el campo de los números reales, entonces tienes que atender al discriminante de f definido como b² – 4ac. Si éste es negativo, no tienes soluciones reales (y para tener soluciones necesitas considerar f como un polinomio complejo, lo que significa que quieres encontrar una solución a f(x) = 0 en el campo de los números complejos).