Resolución de sistemas de ecuaciones en Python
Establezca las opciones para que no haya visualización y una función de trazado que muestre la optimalidad de primer orden, que debería converger a 0 a medida que el algoritmo itera.options = optimoptions(‘fsolve’,’Display’,’none’,’PlotFcn’,@optimplotfirstorderopt);
Resolver una ecuación parametrizada Abrir un script en vivoPuede parametrizar ecuaciones como se describe en el tema Pasar parámetros extra. Por ejemplo, la función de ayuda paramfun al final de este ejemplo crea el siguiente sistema de ecuaciones parametrizado por c:
Resuelva el mismo problema que en Solución con opciones no predeterminadas, pero formule el problema utilizando una estructura de problema.Establezca las opciones para que el problema no tenga visualización y una función de trazado que muestre la optimalidad de primer orden, que debería converger a 0 a medida que el algoritmo itera.problem.options = optimoptions(‘fsolve’,’Display’,’none’,’PlotFcn’,@optimplotfirstorderopt);
La visualización iterativa muestra f(x), que es el cuadrado de la norma de la función F(x). Este valor disminuye hasta cerca de cero a medida que avanzan las iteraciones. La medida de optimalidad de primer orden también disminuye hasta cerca de cero a medida que avanzan las iteraciones. Estas entradas muestran la convergencia de las iteraciones a una solución. La salida fval da el valor de la función F(x), que debe ser cero en la solución (dentro de la tolerancia de la función).Examinar la solución de la ecuación matricial Abrir el script en vivoEncuentre una matriz X que satisfagaX*X*X=[1234], comenzando en el punto x0 = [1,1;1,1]. Crea una función anónima que calcule la ecuación de la matriz y crea el punto x0.fun = @(x)x*x*x – [1,2;3,4];
Resolver numéricamente un sistema de ecuaciones no lineal
Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables mediante gráficas, sustituciones y eliminaciones. Utilizaremos estos mismos métodos cuando veamos los sistemas de ecuaciones no lineales con dos ecuaciones y dos variables. Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema en el que al menos una de las ecuaciones no es lineal.
Al igual que con los sistemas de ecuaciones lineales, una solución de un sistema no lineal es un par ordenado que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. En un sistema no lineal, puede haber más de una solución. Lo veremos cuando resolvamos un sistema de ecuaciones no lineales mediante una gráfica.
Cuando resolvíamos sistemas de ecuaciones lineales, la solución del sistema era el punto de intersección de las dos rectas. Con los sistemas de ecuaciones no lineales, las gráficas pueden ser círculos, parábolas o hipérbolas y puede haber varios puntos de intersección, y por tanto varias soluciones. Una vez identificadas las gráficas, visualiza las diferentes formas en que las gráficas podrían intersecarse y, por tanto, cuántas soluciones podría haber.
Ecuación diferencial ordinaria no lineal de segundo orden
El cometa Halley (Figura \(\PageIndex{1})) orbita el sol aproximadamente una vez cada \(75\) años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales pueden estudiarse mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.
En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una recta, un círculo y una recta, y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene al menos una ecuación que no es lineal. Recordemos que una ecuación lineal puede tener la forma \(Ax+By+C=0\). Cualquier ecuación que no pueda escribirse de esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.
Solucionador no lineal
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene al menos una ecuación que no es lineal. Recordemos que una ecuación lineal puede tener la forma [latex]Ax+By+C=0[/latex]. Cualquier ecuación que no pueda escribirse de esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.
[latex]\N-empieza{alinear}&x-y=-1 \\N – &x=y – 1 && \text{resolver para }x. \\ Y = izquierda (y – 1 derecha) + 1 && \text{Sustituir la expresión para x. \\ Y=Izquierda(Y^2}-2Y+1D) +1 y… \\ &y={y}^{2}-2y+2 \\N-[3mm] &0={y}^{2}-3y+2 && \text{{puesta} igual a 0 y resolver.} |0=Izquierda(y – 2\\NDerecha)\NIzquierda(y – 1\NDerecha) \NFin[/latex]
Resolviendo para [latex]y[/latex] da [latex]y=2[/latex] y [latex]y=1[/latex]. A continuación, sustituye cada valor de [latex]y[/latex] en la primera ecuación para resolver [latex]x[/latex]. Sustituye siempre el valor en la ecuación lineal para comprobar si hay soluciones extrañas.