Saltar al contenido

Clases de equivalencia matematicas discretas

junio 20, 2022

Partición de la relación de equivalencia

La relación de equivalencia definida sobre un conjunto en matemáticas es una relación binaria que es reflexiva, simétrica y transitiva. Una relación binaria sobre los conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A × B formado por elementos de la forma (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B. Un ejemplo muy común y fácil de entender de una relación de equivalencia es la relación “igual a (=)” que es reflexiva, simétrica y transitiva.

Como su nombre indica, se dice que dos elementos de un conjunto son equivalentes si y sólo si pertenecen a la misma clase de equivalencia. En este artículo, entenderemos el concepto de relación de equivalencia, clase, partición con pruebas y ejemplos resueltos.

Una relación de equivalencia es una relación binaria definida sobre un conjunto X tal que la relación es reflexiva, simétrica y transitiva. Si alguna de las tres condiciones (reflexiva, simétrica y transitiva) no se cumple, la relación no puede ser una relación de equivalencia. La relación de equivalencia divide el conjunto en clases de equivalencia disjuntas. Se dice que dos elementos cualesquiera del conjunto son equivalentes si y sólo si pertenecen a la misma clase de equivalencia. Una relación de equivalencia se suele indicar con el símbolo “~”.

Ejemplo de clases de equivalencia

Para una relación de equivalencia, debido a la transitividad y la simetría, todos los elementos relacionados con un elemento fijo deben estar relacionados entre sí. Así, si conocemos un elemento del grupo, conocemos esencialmente todos sus “parientes”.

El elemento entre paréntesis, [ ], se llama representante de la clase de equivalencia.    Una clase de equivalencia puede ser representada por cualquier elemento de esa clase de equivalencia. Así, en el ejemplo 6.3.2, \([S_2] =[S_3]=[S_1] ={S_1,S_2,S_3}.\) Esta igualdad de clases de equivalencia se formalizará en el lema 6.3.1.

Veamos con más detalle el ejemplo 6.3.1.    Todos los enteros que tienen el mismo resto cuando se dividen por 4 están relacionados entre sí. Las clases de equivalencia son los conjuntos \N[\Nbegin{array}{lclcr} {[0]} &=& {n\in\mathbb{Z} \mid n\bmod 4 = 0 \} &=& 4\mathbb{Z}, \\ {[1]} &=& \{n\in\mathbb{Z} \n\bmod 4 = 1 \} &=& 1+4\mathbb{Z}, \\ {[2]} &=& \n\in\mathbb{Z} \n\bmod 4 = 2 \} &=& 2+4\mathbb{Z}, \\ {[3]} &=& \n\in\mathbb{Z} \mid n\bmod 4 = 3 \} &=& 3+4\mathbb{Z}. \nd{array}] Está claro que cada número entero pertenece exactamente a uno de estos cuatro conjuntos. Por lo tanto, [\mathbb{Z} = [0] \cup [1] \cup [2] \cup [3].\N-] Estos cuatro conjuntos son disjuntos por pares.  De esto se deduce que \(\ {[0], [1], [2], [3]\}) es una partición de \(\mathbb{Z}\).

Prueba de clases de equivalencia

En el extremo, podemos tener una relación en la que todo es equivalente (por lo que sólo hay una clase de equivalencia), o podríamos utilizar la relación de identidad (en cuyo caso hay una clase de equivalencia para cada elemento de $S$). Pero normalmente nos interesan las relaciones de equivalencia no triviales, así que tenemos múltiples clases, algunas de las cuales tienen múltiples miembros.

La forma en que pienso en las clases de equivalencia dado un conjunto de pares ordenados, así como dado un conjunto A, es qué está relacionado con qué. Primero, empiezo con 0, y me pregunto, ¿qué pares ordenados en el conjunto R están relacionados con 0?

Número de clases de equivalencia

La congruencia es un ejemplo de relación de equivalencia. Los dos triángulos de la izquierda son congruentes, mientras que el tercero y el cuarto no son congruentes con ningún otro triángulo mostrado aquí. Así, los dos primeros triángulos están en la misma clase de equivalencia, mientras que el tercero y el cuarto están cada uno en su propia clase de equivalencia.

Si el conjunto cociente es compatible con esta estructura, el conjunto cociente suele heredar una estructura similar de su conjunto padre. Algunos ejemplos son los espacios cotizados en álgebra lineal, los espacios cotizados en topología, los grupos cotizados, los espacios homogéneos, los anillos cotizados, los monoides cotizados y las categorías cotizadas.

[2] La palabra “clase” en el término “clase de equivalencia” puede considerarse generalmente como un sinónimo de “conjunto”, aunque algunas clases de equivalencia no son conjuntos sino clases propias. Por ejemplo, “ser isomorfo” es una relación de equivalencia en grupos, y las clases de equivalencia, llamadas clases de isomorfismo, no son conjuntos.

Cada elemento de una clase de equivalencia caracteriza la clase y puede utilizarse para representarla. Cuando se elige un elemento de este tipo, se le llama representante de la clase. La elección de un representante en cada clase define una inyección de

Esta web utiliza cookies propias para su correcto funcionamiento. Contiene enlaces a sitios web de terceros con políticas de privacidad ajenas que podrás aceptar o no cuando accedas a ellos. Al hacer clic en el botón Aceptar, acepta el uso de estas tecnologías y el procesamiento de tus datos para estos propósitos. Más información
Privacidad