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Concepto de imagen en matematicas

junio 20, 2022
Concepto de imagen en matematicas

Concepto de imagen definición de concepto

Imagino que está relacionado con la idea de que los valores de la función nos muestran el «aspecto» de la función; de lo contrario, sospecho que puede estar relacionado con la historia etimológica de imagen como «imitación» o «representación» en el sentido de que las características primarias de interés, los valores, de una función se copian aislando los valores de la función del dominio. Sin embargo, no estoy seguro y no tengo fuentes.

Una imagen es una proyección. Por ejemplo, una foto es la proyección de la luz procedente de varios puntos sobre una superficie 2d. La imaginación es el proceso de proyectar un pensamiento en el ojo de tu mente (si eso tiene sentido para ti). Una imagen de espejo es la proyección de una forma sobre un espejo.

En ese sentido, una foto es la proyección de fotones que llegan a una pequeña superficie sobre la función compuesta por la funcionalidad de la lente, y la sensibilidad del receptor. La imaginación es la proyección de una parte de su actividad cerebral sobre otra parte de su cerebro (donde la función en sí es bastante desconocida para los humanos). ¡La imagen en el espejo es la proyección de los fotones que llegan a una superficie sobre la función f(x) = -x!

Cómo determinar la imagen de una función

Un concepto similar al de imagen de un mapeo de un conjunto en otro. Sin embargo, en la teoría de las categorías existen varios enfoques para definir este concepto. El enfoque más sencillo está estrechamente relacionado con el concepto de bicategoría. Supongamos que en la categoría $ \mathfrak K $

tiene pull-backs, se cumple la inversa de la afirmación del penúltimo párrafo anterior: La existencia de imágenes (en el segundo sentido) implica que la clase de todos los monomorfismos forma una mitad de una estructura de factorización («bicategoría») sobre $ \mathfrak K $,

la otra mitad es la clase de los epimorfismos extremos (es decir, los que no se factorizan a través de ningún subobjeto propio de su codominio). Las factorizaciones de imágenes (en el segundo sentido) juegan un papel en la teoría de las categorías regulares [a1]; de hecho, la definición más sencilla de una categoría regular es la de una categoría con límites e imágenes finitas en la que las factorizaciones de imágenes son estables bajo pull-back.

Teoría de las categorías de imágenes

En matemáticas, la imagen de un elemento x en un conjunto X bajo la función f : X → Y, denotada por f(x), es el único y en Y que está asociado a x. La imagen de un subconjunto A ⊆ X bajo f es el subconjunto de Y definido por

Con esta definición, la imagen f se convierte en una función cuyo dominio es el conjunto de todos los subconjuntos de X (también conocido como conjunto de potencias de X) y cuyo codominio es el conjunto de potencias de Y. Nótese que se utiliza la misma notación para la función original f y su imagen. Se trata de una convención común; el uso previsto debe deducirse por el contexto.

Nótese que f -1 no debe confundirse con la función inversa. Las dos sólo coinciden si f es biyectiva. f -1 es una nueva función cuyo dominio es el conjunto de potencias de Y y cuyo codominio es el conjunto de potencias de X.

Preimage deutsch

La imagen de una función es la imagen de todo su dominio, también conocido como el rango de la función[3] Este último uso debe evitarse porque la palabra «rango» también se utiliza comúnmente para significar el codominio de

y tampoco distingue la función inversa (suponiendo que exista) de la función imagen inversa (que relaciona de nuevo los conjuntos de potencias). Una alternativa[5] es dar nombres explícitos para la imagen y la preimagen como funciones entre conjuntos de potencias:

Con respecto al álgebra de subconjuntos descrita anteriormente, la función imagen inversa es un homomorfismo de retícula, mientras que la función imagen es sólo un homomorfismo de semirretícula (es decir, no siempre preserva las intersecciones).

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