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El monton de piedras matematicas resuelto

junio 22, 2022
El monton de piedras matematicas resuelto

Reglas del juego Nim

A y B juegan una partida con un montón de piedras. A comienza el juego y se alternan los movimientos. En cada movimiento, un jugador tiene que quitar al menos una y no más del número cuadrado de piedras del montón. Así, por ejemplo, si el montón contiene 10 piedras, entonces un jugador puede tomar 1,2,3 piedras del montón.

Estoy añadiendo una segunda respuesta porque mi primera respuesta proporciona la teoría de fondo sin la optimización. Pero como el OP claramente está buscando algo de optimización y una solución muy rápida sin mucha recursividad, he seguido mi propio consejo:

Voy a utilizar la terminología que definí allí, así que si esto no tiene sentido, ¡lee esa respuesta! En concreto, n es el tamaño del montón, k es el número de piedras que hay que quitar, n es un ganador si hay una estrategia ganadora para el jugador A empezando con un montón de tamaño n y es un perdedor en caso contrario. Empecemos con la siguiente idea clave:

Si algún número entero p es grande y es un perdedor, entonces p+1, p+2, … p+k_m son todos ganadores para algún k_m que es alrededor del tamaño de sqrt(p). Esto se debe a que una vez que encuentro un perdedor, para cualquier pila que no sea mucho más grande que eso, puedo quitar algunas piedras para dejar a mi oponente con ese perdedor. La clave es determinar cuál es el mayor valor válido de k, ya que k se define en función del tamaño de la pila inicial n y no del tamaño final de la p.

Solucionador Nim

Se puede jugar al Nim utilizando montones de objetos; montones de piedras o palos de fósforo, por ejemplo. Hay varios montones de piedras, y los jugadores se turnan para sacar piedras de los montones. Cuando no quedan piedras, el jugador que hizo el último movimiento gana. Obviamente, no puede haber empates, ya que el número de piedras siempre se reduce, y alguien debe tomar la última.

En tu turno, debes quitar al menos una piedra y, si vas a quitar más de una, tienen que ser del mismo montón. A partir del juego anterior, no se puede pasar al siguiente:

Es fácil ver quién gana aquí. El único movimiento posible para cualquiera de los dos jugadores es quitar una sola piedra de un montón, reduciendo el número de montones de N a N-1. Si hay un número impar de pilas, el primer jugador hará el último movimiento y ganará, y el segundo jugador ganará con un número par de pilas.

Hay dos maneras de hacer un juego de Nim más grande a partir de uno más pequeño. La primera forma es añadir más fichas a los montones existentes para ver si esto cambia algo. Por ejemplo, vamos a añadir una sola ficha a uno de los montones de nuestros N montones, 1 ficha a cada juego.

Juego Nim

El juego de Wythoff es un juego de sustracción matemática para dos jugadores, que se juega con dos pilas de fichas. Los jugadores se turnan para retirar fichas de uno o de ambos montones; cuando se retiran fichas de ambos montones, el número de fichas retiradas de cada montón debe ser igual. El juego termina cuando un jugador retira la última o las últimas fichas, ganando así.

Una descripción equivalente del juego es que una sola reina de ajedrez se coloca en algún lugar de una gran cuadrícula de casillas, y cada jugador puede mover la reina hacia la esquina inferior izquierda de la cuadrícula: al sur, al oeste o al suroeste, cualquier número de pasos. El ganador es el jugador que mueve la reina hacia la esquina.

Cualquier posición en el juego puede describirse mediante un par de enteros (n, m) con n ≤ m, que describen el tamaño de los dos montones en la posición o las coordenadas de la reina. La estrategia del juego gira en torno a las posiciones frías y las posiciones calientes: en una posición fría, el jugador al que le toca mover perderá con la mejor jugada, mientras que en una posición caliente, el jugador al que le toca mover ganará con la mejor jugada. La estrategia óptima desde una posición caliente es moverse a cualquier posición fría alcanzable.

Nim game python

Brian Hopkins, 30 Years of Bulgarian Solitaire, The College Mathematics Journal, Vol. 43, No. 2, marzo de 2012, pp. 135-140, tiene referencias a otras pruebas publicadas; una parece ser a una versión menos accesible del paper Karatsuba Solitaire (Therese A. Hart, Gabriel Khan, Mizan R. Khan) que MJD encontró en arXiv.org.

Lo que sigue es un intento de resumir sucintamente la solución en el artículo de Hart, Kahn y Kahn que MJD indicó, por lo que no reclamo ninguna originalidad para la solución. Sin embargo, utilizaré una terminología algo diferente.

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