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Que es agrupar en matematicas

junio 22, 2022
Que es agrupar en matematicas

Ejemplo de agrupación en matemáticas

En matemáticas, un grupo es un conjunto y una operación que combina dos elementos cualesquiera del conjunto para producir un tercer elemento del conjunto, de manera que la operación es asociativa, existe un elemento de identidad y todo elemento tiene un inverso. Estos tres axiomas son válidos para los sistemas numéricos y muchas otras estructuras matemáticas. Por ejemplo, los números enteros junto con la operación de adición forman un grupo. El concepto de grupo y los axiomas que lo definen se elaboraron para manejar, de forma unificada, propiedades estructurales esenciales de entidades matemáticas muy diferentes, como los números, las formas geométricas y las raíces de los polinomios. Dado que el concepto de grupo es omnipresente en numerosas áreas tanto dentro como fuera de las matemáticas, algunos autores lo consideran un principio organizador central de las matemáticas contemporáneas[1][2].

En geometría, los grupos surgen de forma natural en el estudio de las simetrías y las transformaciones geométricas: Las simetrías de un objeto forman un grupo, llamado grupo de simetría del objeto, y las transformaciones de un tipo determinado forman un grupo general. Los grupos de Lie aparecen en los grupos de simetría de la geometría, y también en el Modelo Estándar de la física de partículas. El grupo de Poincaré es un grupo de Lie formado por las simetrías del espaciotiempo en la relatividad especial. Los grupos puntuales describen la simetría en la química molecular.

Qué es la agrupación en informática

Se escriben las operaciones de grupo con símbolos como – o *, o escribiendo dos elementos uno al lado del otro. Así, «a – b», «a * b» y «ab» pueden significar «el elemento formado cuando la operación del grupo combina a y b».

No todos los conjuntos y operaciones forman un grupo. El conjunto y la operación de un grupo deben obedecer algunas reglas especiales. Éstas se llaman axiomas de grupo. Esta lista tiene cada axioma dos veces, una en palabras y otra en símbolos matemáticos.

Un ejemplo cotidiano de grupo es el conjunto de los números enteros, la operación de adición, el cero (la identidad). Es fácil ver que cuando se suman dos números enteros, el resultado es siempre un número entero. Por tanto, el cierre es verdadero. El elemento de identidad de este grupo es el cero. Como el orden de las sumas no importa (o en otras palabras, ), la asociatividad es verdadera. Y la inversa de cualquier número entero es su valor negativo. Este grupo también es un grupo abeliano. Es un grupo infinito (también llamado grupo de orden infinito) porque tiene un número infinito de elementos, los enteros.

Los grupos de simetría proporcionan muchos ejemplos de grupos. Por ejemplo, aquí están todas las simetrías de un cuadrado: girar el cuadrado en el sentido de las agujas del reloj 90o, 180o o 270o; girar el cuadrado en sentido contrario a las agujas del reloj 90o, 180o o 270o; reflejar la imagen del cuadrado en un espejo vertical, o en un espejo horizontal, o en un espejo diagonal a la derecha o a la izquierda; o dejar el cuadrado sin cambios. Se trata de un grupo finito (o de orden finito). Es un grupo no abeliano porque puede diferir el orden al hacer un giro y una reflexión.

Agrupación en matemáticas grado 2

Consideremos un objeto \(X\) con unas simetrías \(S\). Hemos visto que podemos componer cualquiera de las simetrías de \(S\) y obtener otra simetría de \(X\). También hemos visto que estas simetrías obedecen a ciertas reglas. Ahora podemos, por fin, definir un grupo. Definición 2.1.0: Grupo Un grupo es un conjunto \(S\) con una operación \circ: S\times S\rightarrow S\) que satisface las siguientes propiedades:

Una noción esencial en matemáticas es la abstracción. Nótese que nuestra definición se aplica ciertamente a cualquier colección \(S\) de simetrías de un objeto, ¡pero de hecho hay otros contextos en los que las definiciones se aplican también! La operación puede ser cualquier forma de combinar dos cosas en \(S\) y obtener otra de vuelta; \(S\) no necesita ser una colección de funciones, y la operación no necesita ser la composición. Un grupo se define puramente por las reglas que sigue. Éste es nuestro primer ejemplo de estructura algebraica; todos los demás que conozcamos seguirán un modelo similar: Un conjunto con alguna(s) operación(es) que sigue(n) algunas reglas particulares. Por ejemplo, consideremos los números enteros \N(\mathbb{Z}) con la operación de adición. Para comprobar que los enteros forman un grupo, tenemos que comprobar cuatro cosas:

Agrupación en matemáticas para el jardín de infancia

En matemáticas, un grupo es un conjunto, junto con una operación binaria, como la multiplicación o la suma, que satisface ciertos axiomas, detallados a continuación. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros es un grupo bajo la operación de adición. La rama de las matemáticas que estudia los grupos se denomina teoría de grupos.

El origen histórico de la teoría de grupos se remonta a los trabajos de Evariste Galois (1830), relativos al problema de cuándo una ecuación algebraica es soluble por radicales. Antes de estos trabajos, los grupos se estudiaban principalmente de forma concreta, en forma de permutaciones; algunos aspectos de la teoría de grupos abelianos se conocían en la teoría de las formas cuadráticas.

Muchos de los objetos investigados en matemáticas resultan ser grupos. Entre ellos se encuentran los sistemas numéricos conocidos, como los enteros, los racionales, los reales y los complejos bajo adición, así como los racionales no nulos, los reales y los complejos, cada uno bajo multiplicación. Otro ejemplo importante es el de las matrices no singulares que se multiplican y, en general, el de las funciones invertibles que se componen. La teoría de grupos permite investigar las propiedades de estos sistemas y muchos otros en un entorno más general, y sus resultados son ampliamente aplicables. La teoría de grupos es también una rica fuente de teoremas por derecho propio.

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