Multiplicación rápida
No hace falta ser profesor de matemáticas para saber que muchos estudiantes -y probablemente muchos padres (¡hace tiempo!)- se sienten intimidados por los problemas matemáticos, especialmente si implican números grandes. Aprender técnicas sobre cómo hacer matemáticas rápidamente puede ayudar a los estudiantes a desarrollar una mayor confianza en las matemáticas, a mejorar las habilidades y la comprensión de las mismas y a destacar en los cursos avanzados.
He aquí 10 estrategias matemáticas rápidas que los estudiantes (¡y los adultos!) pueden utilizar para hacer matemáticas mentalmente. Una vez dominadas estas estrategias, los estudiantes deberían ser capaces de resolver con precisión y confianza los problemas matemáticos que antes temían resolver.
Cómo multiplicar
Siguiendo con el 3 x 4, pida a los alumnos que ordenen sus manipulables en tres filas, cada una con cuatro piezas. Esta disposición es una matriz. A continuación, los alumnos pueden numerarlas consecutivamente para descubrir que las tres filas de cuatro hacen ocho, y no seis, como podrían suponer a partir de un problema de suma con los mismos dígitos.
Si los alumnos comprenden la propiedad conmutativa, podrán realizar las tareas de multiplicación con mucha más flexibilidad. También les resultará más fácil memorizar las tablas, ya que aprender un dato significa también aprender su inverso.
Puedes enseñar este concepto con un juego de ingenio: haz que los alumnos creen una matriz de 3 x 4 disponiendo los manipulantes en un papel, y luego desafíalos a crear una matriz de 4 x 3 sin mover ninguno de ellos.
Es una buena parte de la tabla de multiplicar de 12 x 12 que se puede calcular con poco esfuerzo. No te olvides de recordar a los alumnos la propiedad conmutativa: ¡todas estas sencillas operaciones son válidas cuando los números se invierten!
Se pueden organizar concursos atractivos al estilo de un concurso, pero recuerda que deben ser inclusivos para los alumnos que necesiten apoyo adicional. Considera la posibilidad de utilizar premios como motivación extrínseca.
Multiplicación de enteros en tiempo o(n log n)
En la multiplicación larga, tenemos que multiplicar cada dígito del primer número por cada dígito del segundo. Si los dos números tienen N dígitos cada uno, son N2 (o N x N) multiplicaciones en total. En el ejemplo anterior, N es 3, y hemos tenido que hacer 32 = 9 multiplicaciones.
Por ejemplo, para multiplicar números de cuatro cifras, en lugar de necesitar 42 = 16 multiplicaciones, el método de Karatsuba sólo necesita nueve. Al utilizar su método, el doble de dígitos significa sólo tres veces más trabajo.
Cada vez que se establece una comunicación encriptada en Internet -por ejemplo, cuando se accede a un sitio web bancario o se realiza una búsqueda en la red-, el dispositivo realiza un número de multiplicaciones que da vueltas en la cabeza, con números de cientos o incluso miles de dígitos.
Para algunas aplicaciones más esotéricas, los matemáticos tienen que lidiar con números aún mayores, con millones, miles de millones o incluso billones de dígitos. Para estos números tan enormes, incluso el algoritmo de Karatsuba es demasiado lento.
La FFT es uno de los algoritmos más importantes del siglo XX. Una aplicación familiar en la vida cotidiana es el audio digital: siempre que se escuchan MP3, servicios de streaming de música o radio digital, las FFT se encargan de la decodificación del audio entre bastidores.
Trucos de multiplicación fáciles
Un algoritmo de multiplicación es un algoritmo (o método) para multiplicar dos números. Dependiendo del tamaño de los números, se utilizan diferentes algoritmos. Los algoritmos de multiplicación eficientes han existido desde la aparición del sistema decimal.
Este es el algoritmo habitual para multiplicar números grandes a mano en base 10. Una persona que realice una multiplicación larga en papel anotará todos los productos y luego los sumará; un usuario de ábaco sumará los productos tan pronto como se calcule cada uno.
El siguiente pseudocódigo describe el proceso de multiplicación anterior. Mantiene sólo una fila para mantener la suma que finalmente se convierte en el resultado. Nótese que el operador ‘+=’ se utiliza para denotar la suma al valor existente y la operación de almacenamiento (similar a lenguajes como Java y C) para la compactación.
Algunos chips implementan la multiplicación larga, en hardware o en microcódigo, para varios tamaños de palabra de enteros y de punto flotante. En la aritmética de precisión arbitraria, es habitual utilizar la multiplicación larga con la base establecida en 2w, donde w es el número de bits de una palabra, para multiplicar números relativamente pequeños. Para multiplicar dos números con n dígitos utilizando este método, se necesitan unas n2 operaciones. Más formalmente, multiplicar dos números de n dígitos utilizando la multiplicación larga requiere Θ(n2) operaciones de un solo dígito (sumas y multiplicaciones).