La regla de Pemdas
Cuando los alumnos de 3º curso en adelante aprenden inicialmente a sumar, restar, multiplicar, dividir y trabajar con expresiones numéricas básicas, empiezan realizando operaciones con dos números. Pero, ¿qué ocurre cuando una expresión requiere varias operaciones? ¿Se suma o se multiplica primero, por ejemplo? ¿Y multiplicar o dividir? Este artículo explica qué es el orden de las operaciones y te da ejemplos que también puedes utilizar con los alumnos. También proporciona dos lecciones que te ayudarán a introducir y desarrollar el concepto.
El orden de las operaciones es un ejemplo de matemáticas muy procedimental. Es fácil meter la pata porque es menos un concepto que se domina y más una lista de reglas que hay que memorizar. Pero no te engañes pensando que las habilidades procedimentales no pueden ser profundas. Puede presentar problemas difíciles, apropiados para alumnos de más edad, y que dan pie a discusiones en clase:
A lo largo del tiempo, los matemáticos se han puesto de acuerdo en un conjunto de reglas llamado orden de operaciones para determinar qué operación hay que hacer primero. Cuando una expresión sólo incluye las cuatro operaciones básicas, éstas son las reglas:
Precedencia de los operadores
La suma es la operación más básica de la aritmética. En su forma más simple, la adición combina dos cantidades en una única cantidad, o suma. Por ejemplo, digamos que tienes un grupo de 2 cajas y otro grupo de 3 cajas. Si combinas ambos grupos, ahora tienes un grupo de 5 cajas. Para representar esta idea en términos matemáticos
La resta es lo contrario de la suma. En lugar de sumar cantidades, estamos quitando una cantidad de otra para encontrar la diferencia entre las dos. Siguiendo con el ejemplo anterior, supongamos que empezamos con un grupo de 5 cajas. Si a ese grupo le quitas 3 cajas, te quedas con 2 cajas. En términos matemáticos:
La multiplicación también combina varias cantidades en una sola, llamada producto. De hecho, la multiplicación puede considerarse como una consolidación de muchas sumas. En concreto, el producto de [latex]x[/latex] e [latex]y[/latex] es el resultado de [latex]x[/latex] sumadas [latex]y[/latex] veces. Por ejemplo, una forma de contar cuatro grupos de dos cajas es sumar los grupos:
Prueba de operaciones matemáticas
El primer paso para resolver un problema de palabras es siempre leer el problema. Tienes que ser capaz de traducir las palabras a símbolos matemáticos, centrándote en las palabras clave que indican los procedimientos matemáticos necesarios para resolver el problema, tanto la operación como el orden de la expresión. De la misma manera que puedes traducir el español al inglés, puedes traducir las palabras en inglés a símbolos, el lenguaje de las matemáticas. Muchas (si no todas) las palabras clave que indican operaciones matemáticas son palabras conocidas.
Para empezar, traduce frases en inglés a expresiones algebraicas. Una expresión algebraica es una colección de números, variables, operaciones y símbolos de agrupación. Traducirás un número desconocido como la variable x o n. Los símbolos de agrupación suelen ser un conjunto de paréntesis, pero también pueden ser conjuntos de corchetes o llaves.
Al traducir expresiones, conviene conocer bien las palabras clave básicas que se traducen en operaciones matemáticas: palabras clave de suma, palabras clave de resta, palabras clave de multiplicación y palabras clave de división, que se tratan en las cuatro secciones siguientes.
Bodmas
Parece que la respuesta depende de la forma en que se mire el problema. Pero no podemos tener este tipo de flexibilidad en las matemáticas; las matemáticas no funcionan si no se puede estar seguro de la respuesta, o si se puede calcular exactamente la misma expresión para llegar a dos o más respuestas diferentes.
Para eliminar esta confusión, tenemos unas reglas de precedencia, establecidas al menos desde el año 1500, llamadas “orden de las operaciones”. Las “operaciones” son la suma, la resta, la multiplicación, la división, la exponenciación y la agrupación; el “orden” de estas operaciones establece qué operaciones tienen prioridad (se ocupan) antes que otras.
Una técnica habitual para recordar el orden de las operaciones es la abreviatura (o, más bien, el “acrónimo”) “PEMDAS”, que se convierte en la frase nemotécnica “Please Excuse My Dear Aunt Sally”. Esta frase significa, y ayuda a recordar el orden de “Paréntesis, Exponentes, Multiplicación y División, y Adición y Sustracción”. Este listado indica el rango de las operaciones: Los paréntesis superan a los exponentes, que superan a la multiplicación y la división (pero la multiplicación y la división están en el mismo rango), y la multiplicación y la división superan a la suma y la resta (que están juntas en el rango inferior). En otras palabras, la precedencia es: