Calculadora de series geométricas
Al realizar análisis de mecánica estructural, es inevitable encontrarse con el concepto de no linealidad geométrica. En esta entrada del blog, hablaremos de lo que significa la no linealidad geométrica y de cuándo se debe tener en cuenta este efecto.
Es posible que la no linealidad geométrica ni siquiera se introduzca explícitamente en un curso fundamental de mecánica estructural. De hecho, la linealidad geométrica se suele asumir tácitamente. En un entorno geométricamente lineal, las ecuaciones de equilibrio se formulan en el estado no deformado y no se actualizan con la deformación. Esto puede sonar un poco alarmante al principio, ya que el cálculo de las deformaciones es el objetivo de la mecánica estructural.
Sin embargo, en la mayoría de los problemas de ingeniería, las deformaciones son tan pequeñas que la desviación de la geometría original no es perceptible. El pequeño error que se introduce al ignorar las deformaciones no justifica la complejidad matemática añadida que genera una teoría más sofisticada. Por ello, la gran mayoría de los análisis se realizan con la hipótesis de la linealidad geométrica.
Fórmula de la suma geométrica
La serie geométrica 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … se muestra como áreas de cuadrados morados. Cada uno de los cuadrados morados tiene 1/4 del área del siguiente cuadrado mayor (1/2×1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, etc.). La suma de las áreas de los cuadrados morados es un tercio del área del cuadrado grande.
Otra serie geométrica (coeficiente a = 4/9 y razón común r = 1/9) mostrada como áreas de cuadrados morados. El área total de púrpura es S = a / (1 – r) = (4/9) / (1 – (1/9)) = 1/2, lo que puede confirmarse observando que el cuadrado unitario se divide en un número infinito de áreas en forma de L, cada una de ellas con cuatro cuadrados púrpura y cuatro amarillos, que son la mitad de púrpura.
es el cociente común entre términos adyacentes. Las series geométricas son uno de los ejemplos más sencillos de series infinitas y pueden servir de introducción a las series de Taylor y de Fourier. Las series geométricas tuvieron un papel importante en el desarrollo temprano del cálculo, se utilizan en todas las matemáticas y tienen importantes aplicaciones en física, ingeniería, biología, economía, informática, teoría de colas y finanzas.
Suma aritmética
En estadística, la media geométrica se calcula elevando el producto de una serie de números a la inversa de la longitud total de la serie. La media geométrica es más útil cuando los números de la serie no son independientes entre sí o si los números tienden a presentar grandes fluctuaciones.
Las aplicaciones de la media geométrica son más comunes en los negocios y las finanzas, donde se utiliza frecuentemente cuando se trata de porcentajes para calcular las tasas de crecimiento y los rendimientos de una cartera de valores. También se utiliza en algunos índices financieros y bursátiles, como el índice geométrico Value Line del Financial Times.
La media geométrica se utiliza en finanzas para calcular las tasas de crecimiento medio y se denomina tasa de crecimiento anual compuesto. Consideremos una acción que crece un 10% en el primer año, disminuye un 20% en el segundo, y luego crece un 30% en el tercer año. La media geométrica de la tasa de crecimiento se calcula como sigue:
La media geométrica también se utiliza ocasionalmente en la construcción de índices bursátiles. Muchos de los índices Value Line mantenidos por el Financial Times emplean la media geométrica. En este tipo de índice, todos los valores tienen la misma ponderación, independientemente de su capitalización bursátil o de su precio. El índice se calcula tomando la media geométrica de la variación proporcional del precio de cada uno de los valores que lo componen.
Formas geométricas
Se puede tomar la suma de un número finito de términos de una sucesión geométrica. Y, por razones que estudiarás en el cálculo, puedes tomar la suma de una secuencia geométrica infinita, pero sólo en la circunstancia especial de que la razón común r esté entre -1 y 1; es decir, tienes que tener | r | < 1.
Nota: Su libro puede tener una forma ligeramente diferente de la fórmula de la suma parcial anterior. Por ejemplo, la “a” puede estar multiplicada por el numerador, los factores de la fracción pueden estar invertidos, o la suma puede empezar en i = 0 y tener una potencia de n + 1 en el numerador. Todas estas formas son equivalentes, y la formulación anterior puede derivarse de la división larga de polinomios.
Por tanto, se trata de una serie geométrica con razón común r = -2. (También puedo decir que debe ser una serie geométrica por la forma dada para cada término: a medida que el índice aumenta, cada término se multiplicará por un factor adicional de -2).
A diferencia de la fórmula para la n-ésima suma parcial de una serie aritmética, no necesito el valor del último término para encontrar la n-ésima suma parcial de una serie geométrica. Así que tengo todo lo que necesito para proceder. Cuando introduzco los valores del primer término y el cociente común, la fórmula de la suma me da: