Triángulo dos lados un ángulo
Ley de los senosFigura 1, Con circunferenciaFigura 2, Sin circunferenciaDos triángulos etiquetados con las componentes de la ley de los senos. α, β y γ son los ángulos asociados a los vértices en mayúsculas A, B y C, respectivamente. Las minúsculas a, b y c son las longitudes de los lados opuestos. (a es opuesto a α, etc.)
donde a, b y c son las longitudes de los lados de un triángulo, y α, β y γ son los ángulos opuestos (ver figura 2), mientras que R es el radio de la circunferencia del triángulo. Cuando no se utiliza la última parte de la ecuación, la ley se enuncia a veces utilizando los recíprocos;
La ley de los senos puede utilizarse para calcular los lados restantes de un triángulo cuando se conocen dos ángulos y un lado, técnica conocida como triangulación. También puede utilizarse cuando se conocen dos lados y uno de los ángulos no cerrados. En algunos casos, el triángulo no está determinado de forma única por estos datos (lo que se denomina caso ambiguo) y la técnica da dos valores posibles para el ángulo encerrado.
Según Glen Van Brummelen, “la ley de los senos es en realidad la base de Regiomontanus para sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones son a su vez las bases para sus soluciones de triángulos generales”[5] Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.
Leyes sobre el pecado
Las funciones trigonométricas como el seno, el coseno y la tangente se utilizan para encontrar el ángulo o los lados desconocidos de un triángulo. Las aplicaciones de la ley del seno son las siguientes: La ley del seno se utiliza principalmente para encontrar los ángulos desconocidos de un triángulo. Según la ley del seno, si a,b y c son la longitud de los lados de un triángulo y ∠A , ∠B y ∠C son ángulos entre ellos entonces,a/Sin A, b/Sin B, c/Sin CAsabemos el valor de uno de los lados y el valor de dos ángulos tales comoa = 7 cm , ∠A = 60° , ∠B = 45°¿Hallamos el lado b? Mediante, ley del seno = a/ Sin A / b Sin BNow sustituyendo los valores obtenemos,7/Sin 60° = b/Sin 45°7(√3/2) = b/( 1/√2)14/√3 = √2bb = 14/√3/√2 = 14/√62. Explique la ley del seno en el caso ambiguo.
Calculadora de la ley de los cosenos
Para demostrar la Ley de los Senos, sea \(\ triángulo\,ABC \) un triángulo oblicuo. Entonces \(\ángulo\,ABC \) puede ser agudo, como en la figura \(\PageIndex{1}\)(a), o puede ser obtuso, como en la figura \(\PageIndex{1}\)(b). En cada caso, dibujar la altitud desde el vértice en \ (C \) al lado \ (\overline{AB} \). En la Figura \(\PageIndex{1})(a) la altitud está dentro del triángulo, mientras que en la Figura \(\PageIndex{1})(b) la altitud está fuera del triángulo.
En la figura \N(\PageIndex{1}(b), \N (\dfrac{h}{a} = \sin\;(180^\circ – B) = \sin\;B \N por la ecuación (1.19) de la sección 1.5). Por lo tanto, la solución de \ ~ (h \ ~) en la ecuación \ ~ y la sustitución de que en la ecuación \ ~ 2.4 da
Podemos encontrar el tercer ángulo restando los otros dos ángulos de \(180^\c \), a continuación, utilizar la ley de los senos para encontrar los dos lados desconocidos. En este ejemplo tenemos que encontrar \ (B \), \ (b \), y \ (c \). En primer lugar, vemos que
En este ejemplo conocemos el lado \ (a \) y su ángulo opuesto \ (A \), y conocemos el lado \ (b \). Podemos usar la Ley de los Senos para encontrar el otro ángulo opuesto \(B \), luego encontrar el tercer ángulo \(C \) restando \(A \) y \(B \) de \(180^\c \), luego usar la ley de los senos para encontrar el tercer lado \(c \). Por la ley de los senos, tenemos
Leyes trigonométricas
Hemos visto que utilizar la Ley de los Senos con las combinaciones ASA y AAS garantiza una única solución y un único triángulo. Sin embargo, trabajar con la tercera opción de SSA deja la puerta abierta a que se produzcan varias situaciones y soluciones diferentes. Por esta razón, el SSA se conoce como el Caso Ambiguo.
Como sin A = h/b, la sustitución da h = 8. Pero, ahora tenemos una hipotenusa de 7 en un triángulo rectángulo con un cateto de 8. La hipotenusa es siempre el lado más largo en un triángulo rectángulo. Este diagrama no es posible.
Podemos ver enseguida que el problema que existía en el ejemplo 1 no es un problema con este triángulo. El valor de a es mayor que la altura de C (8) y se formará un triángulo. Pero, si giramos el lado a desde el punto C hacia la izquierda, ¿podemos formar un segundo triángulo?