Problemas matemáticos sin resolver
Alrededor del año 450 a.C., Anaxágoras de Clazómena tuvo tiempo para pensar. El matemático griego estaba en prisión por afirmar que el sol no era un dios, sino una roca incandescente tan grande como la península del Peloponeso. El filósofo, que creía que “la razón gobierna el mundo”, aprovechó su encarcelamiento para resolver un problema matemático ahora famoso conocido como la cuadratura del círculo: Con un compás y una regla, ¿se puede obtener un cuadrado de igual superficie que un círculo dado?
Sorprendentemente, los matemáticos siguen trabajando en esta cuestión. Y están avanzando. Un artículo publicado en Internet la semana pasada por Andras Máthé y Oleg Pikhurko, de la Universidad de Warwick, y Jonathan Noel, de la Universidad de Victoria, es el último en sumarse a esta antigua tradición. Los autores muestran cómo se puede cuadrar un círculo cortándolo en trozos que se pueden visualizar y posiblemente dibujar. Es un resultado que se basa en una rica historia.
La pregunta exacta planteada por Anaxágoras tuvo respuesta en 1882, cuando el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que la cuadratura del círculo es imposible con las herramientas clásicas. Demostró que pi -el área de un círculo con un radio de 1- es un tipo especial de número clasificado como trascendental (una categoría que también incluye el número de Euler, e). Como un resultado anterior había demostrado que es imposible utilizar un compás y una regla para construir una longitud igual a un número trascendental, también es imposible cuadrar un círculo de esa manera.
Problema de geometría fácil más difícil
“Los rompecabezas de ángulos me parecen mucho más difíciles de escribir. Mis alumnos me dijeron que éste era bastante fácil, pero a mis padres les pareció muy difícil. Creo que hay que “saber” más para hacer éste, pero el aspecto de la resolución del problema es más fácil”.
“Me gusta el hecho de que, aunque se pueden calcular todas las dimensiones del triángulo naranja a partir de la información aquí (y yo lo hice cuando lo resolví), en realidad no es necesario hacerlo: con el área y la hipotenusa es suficiente.”
En caso de que hayas llegado hasta aquí -en cuyo caso, probablemente hayan pasado 6 meses desde que empezaste, y tu escritorio esté rodeado de papeles arrugados y envases vacíos de comida china-, aquí tienes algunas preguntas que tenía para Catriona.
Me fui de vacaciones a las Tierras Altas de Escocia, pero me olvidé de llevarme un abrigo, así que acabé pasando más tiempo dentro que mis amigos. No paraba de hacer garabatos del tipo “Me pregunto si podría hacer ejercicio…”.
Sólo hay que empezar a garabatear. Termino con una página entera de cuadrados superpuestos en diferentes ángulos, o pentágonos regulares (más o menos) con diferentes partes sombreadas, y luego veo si hay alguna matemática agradable escondida allí – relaciones entre longitudes o áreas o ángulos.
Un rápido problema de geometría
A pesar de todos los avances recientes en el mundo de las matemáticas -como la resolución por parte de un superordenador del problema de la suma de tres cubos, que desconcertó a los matemáticos durante 65 años-, no dejamos de hacer cálculos en busca de un conocimiento numérico más profundo. Algunos problemas matemáticos nos llevan desafiando desde hace siglos, y aunque los rompecabezas como estos problemas matemáticos más difíciles que siguen pueden parecer imposibles, seguro que alguien los resolverá en algún momento. Tal vez. Por el momento, puedes intentar resolver los problemas matemáticos más difíciles conocidos por el hombre, la mujer y la máquina:
Uno de los mayores misterios sin resolver de las matemáticas es también muy fácil de escribir. La conjetura de Goldbach es: “Todo número par (mayor que dos) es la suma de dos primos”. Comprueba esto en tu cabeza para los números pequeños: 18 es 13+5, y 42 es 23+19. Los ordenadores han comprobado la conjetura para números hasta cierta magnitud. La conjetura de Goldbach surgió a partir de las cartas que se enviaron en 1742 el matemático alemán Christian Goldbach y el legendario matemático suizo Leonhard Euler, considerado uno de los más grandes de la historia de las matemáticas. En palabras de Euler, “lo considero un teorema completamente cierto, aunque no pueda demostrarlo”. Euler puede haber intuido lo que hace que este problema sea contraintuitivamente difícil de resolver. Cuando se observan los números más grandes, tienen más formas de escribirse como sumas de primos, no menos. Por ejemplo, 3+5 es la única manera de dividir 8 en dos primos, pero 42 puede dividirse en 5+37, 11+31, 13+29 y 19+23. Así que parece que la conjetura de Goldbach se queda corta para los números muy grandes. Es una de las cuestiones abiertas más antiguas de las matemáticas.
Problema de geometría más difícil
Probablemente dice mucho de mí como profesor que asigne problemas como éste. Observo cómo los alumnos intentan ordenar los ángulos rectos consecutivamente. Cuando eso no funciona, algunos intentan alternar los ángulos rectos. Al fallar de nuevo, los insertan al azar en el polígono. Garabatean, borran y discuten. El sonido de la lucha productiva es música para los oídos del profesor.
Entonces sospechan y empiezan a hacer preguntas. “Has dicho cuatro ángulos rectos. ¿Realmente querías decir tres?” “¿Estás seguro de que querías decir convexo?” “Cuatro ángulos rectos harían básicamente un rectángulo. ¿Cómo podemos conseguir cuatro lados más en nuestro octógono?” Escucho atentamente, asintiendo con la cabeza, reconociendo sus ideas.
Por ejemplo, encontrar un octógono con ciertas propiedades es una tarea matemática muy diferente a la de demostrar que no puede existir tal octógono. Al jugar con diferentes octógonos, podemos tropezar con uno que tenga cuatro ángulos rectos.
Pero la suerte no juega un papel importante a la hora de demostrar que ese octógono no puede existir. Hace falta un conocimiento profundo, no sólo de los polígonos, sino de las propias matemáticas. Para considerar la imposibilidad, tenemos que entender que la mera afirmación de que una cosa existe no la convierte en tal. Las definiciones, propiedades y teoremas matemáticos viven en una tensión que nace de la interconexión. Al intentar imaginar nuestro octógono con cuatro ángulos rectos, trabajamos dentro de esas reglas interconectadas.