Símbolo de los números naturales
Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos de un conjunto se llaman elementos o miembros. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier tipo de objeto, ¡incluso conjuntos! Los miembros de un conjunto ni siquiera tienen que ser del mismo tipo. Por ejemplo, aunque no tenga ninguna aplicación significativa, un conjunto puede estar formado por números y nombres.
Solemos utilizar letras mayúsculas como \(A\), \(B\), \(C\), \(S\) y \(T\) para representar conjuntos, y denotar sus elementos genéricos por sus correspondientes letras minúsculas \(a\), \(b\), \(c\), \(s\) y \(t\), respectivamente. Para indicar que \(b\) es un elemento del conjunto \(B\), adoptamos la notación \(b\in B\), que significa ” \(b\) pertenece a \(B\)” o ” \(b\) es un elemento de \(B\)”. En consecuencia, decir que \N(x\nmathbb {R}) es otra forma de decir que \N(x\) es un número real.
Designamos estas notaciones para algunos conjuntos especiales de números: \N-[\N-inicio{alineado} \N} &=& \mbox{el conjunto de los números naturales}, \mathbb{Z} &=& \mbox{el conjunto de los números enteros}, \mathbb{Q} &=& \mbox{el conjunto de los números racionales}, \mathbb{R} &=& \mbox{el conjunto de los números reales}. \[end{aligned}] Todos ellos son conjuntos infinitos, porque todos contienen infinitos elementos. En cambio, los conjuntos finitos contienen un número finito de elementos.
Juegos de números
Los números utilizados para contar se denominan números cardinales, y los utilizados para ordenar se llaman números ordinales. Los números naturales se utilizan a veces como etiquetas, conocidas como números nominales, que no tienen ninguna de las propiedades de los números en sentido matemático (por ejemplo, los números de las camisetas deportivas)[1][2].
Los números naturales son una base a partir de la cual se pueden construir muchos otros conjuntos numéricos por extensión: los números enteros, incluyendo (si aún no está) el elemento neutro 0 y un inverso aditivo (-n) para cada número natural no n; los números racionales, incluyendo un inverso multiplicativo (
) para cada número entero distinto de cero n (y también el producto de estos inversos por los enteros); los números reales, incluyendo con los racionales los límites de las secuencias (convergentes) de Cauchy de los racionales; los números complejos, incluyendo con los números reales la raíz cuadrada no resuelta de menos uno (y también las sumas y los productos de las mismas); y así sucesivamente[c][d] Esta cadena de extensiones hace que los números naturales estén canónicamente incrustados (identificados) en los otros sistemas numéricos.
Tipos de números
¿Cuáles son las diferencias entre conjuntos finitos y conjuntos infinitos? Un conjunto se dice que es un conjunto finito si es un conjunto vacío o el proceso de conteo de elementos seguramente llega a un final se llama un conjunto finito.En un conjunto finito el elemento puede ser enumerado si tiene un limitado es decir, contable por número natural 1, 2, 3, ……… y el proceso de enumeración termina en un cierto número natural N.El número de elementos distintos contados en un conjunto finito S se denota por n(S). El número de elementos de un conjunto finito A se llama orden o número cardinal de un conjunto A y se denota simbólicamente por n(A). Así, si el conjunto A es el de los alfabetos ingleses, entonces n(A) = 26: porque contiene 26 elementos. De nuevo, si el conjunto A es el de las vocales del alfabeto inglés, es decir, A = {a, e, i, o, u}, entonces n(A) = 5. Nota: El elemento no aparece más de una vez en un conjunto.
Qué son los números naturales
El complemento de un conjunto es el conjunto que incluye todos los elementos del conjunto universal que no están presentes en el conjunto dado. Digamos que A es un conjunto de todas las monedas que es un subconjunto de un conjunto universal que contiene todas las monedas y billetes, por lo que el complemento del conjunto A es un conjunto de billetes (que no incluye las monedas).
Si el conjunto universal (U) tiene un subconjunto A, entonces el complemento del conjunto A que se representa como A’, es otro que los elementos del conjunto A que incluye los elementos del conjunto universal pero no los elementos del conjunto A. Aquí, A’ = {x ∈ U : x ∉ A}. En otras palabras, el complemento de un conjunto A es la diferencia entre el conjunto universal y el conjunto A.
El complemento de cualquier conjunto se representa como A’, B’, C’, etc. En otras palabras, podemos decir, si el conjunto universal es (U) y el subconjunto del conjunto universal (A) está dado entonces la diferencia del conjunto universal (U) y el subconjunto del conjunto universal (A) es el complemento del subconjunto, es decir A’ = U – A.
Para una mejor comprensión, mira el diagrama de Venn del complemento de un conjunto, que muestra claramente el complemento del conjunto A, es decir, A’. Aquí A’ no forma parte del conjunto A y el conjunto A tampoco forma parte de A’. A y A’ son subconjuntos de U.