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La fórmula de la suma de los números naturales se obtiene utilizando la fórmula de la progresión aritmética en la que la diferencia común entre el número anterior y el posterior es 1. Los números naturales también se denominan números de conteo y comienzan desde el número 1 hasta el infinito, como 1,2,3,4,5,6,7, etc. Conozcamos la suma de n números naturales, cómo se obtiene la fórmula y resolvamos algunos ejemplos.
La suma de n números naturales puede definirse como una forma de progresión aritmética en la que la suma de n términos se ordena en una secuencia en la que el primer término es 1, siendo n el número de términos junto con el término n. La suma de n números naturales se representa como [n(n+1)]/2. Los números naturales son los números que empiezan por el 1 y terminan en el infinito. Los números naturales incluyen números enteros en ellos excepto el número 0.
Prueba de la suma de los n primeros números naturales
Aunque a primera vista la serie parece no tener ningún valor significativo, se puede manipular para obtener una serie de resultados matemáticamente interesantes. Por ejemplo, en matemáticas se utilizan muchos métodos de suma para asignar valores numéricos incluso a una serie divergente. En particular, los métodos de regularización de la función zeta y la suma de Ramanujan asignan a la serie un valor de -1/12, que se expresa mediante una famosa fórmula[2]
en la que el lado izquierdo debe interpretarse como el valor obtenido mediante uno de los métodos de suma mencionados y no como la suma de una serie infinita en su sentido habitual. Estos métodos tienen aplicaciones en otros campos como el análisis complejo, la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas[3].
La secuencia infinita de números triangulares diverge a +∞, así que por definición, la serie infinita 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ también diverge a +∞. La divergencia es una simple consecuencia de la forma de la serie: los términos no se aproximan a cero, por lo que la serie diverge por la prueba del término.
Suma de todos los números naturales
Carl Friedrich Gauss era un matemático especial. Se cuenta que, en la escuela, a la edad de 8 años, era capaz de sumar los 100 primeros números con extrema rapidez. Me gusta pensar que el profesor utilizó este truco muchas veces para mantener a la clase ocupada durante largos periodos mientras él echaba una cabezada. Sabía que le esperaba un largo período de silencio mientras la clase trabajaba como una esclava. Incluso si uno de ellos conseguía una respuesta, el profesor podía pedirles que la revisaran para ocupar más tiempo. Pero no había contado con este precoz niño de 8 años.
En un abrir y cerrar de ojos, Gauss dio 5050. Pero no sólo pudo calcular la suma de los 100 primeros números tan rápidamente, sino que también pudo justificar la corrección de su respuesta. Y así lo hará usted antes de impartir este seminario al personal.
Quizá quiera leer sobre Carl Friedrich en alguna de las muchas páginas web. Valdría la pena anotar una o dos cosas sobre Gauss. Por ejemplo, dónde vivía, cuándo vivía, qué problemas domésticos tenía, etc. Sería conveniente sacar un mapa de la Alemania moderna y mostrar dónde está Brunswick (Braunschweig). De memoria, no está lejos de Hannover y de la antigua frontera este-oeste de Alemania.
Fórmula de la suma de números naturales
¡Qué gran suma! Esta es una de esas preguntas que tienen decenas de pruebas por su utilidad y uso didáctico. Presento mis dos pruebas favoritas: una por su sencillez, y otra porque se me ocurrió a mí solo (es decir, antes de ver a otros hacerlo -se sabe-).
Como las dos expresiones anteriores cuentan lo mismo, deben ser iguales. Esto se conoce como el principio de la doble cuenta, y es una de las armas favoritas de los combinadores. Una generalización de este argumento permite deducir la suma de los primeros $n$ cuadrados, cubos, cuartas potencias…
En general, existen teorías y algoritmos (de Galois) para la suma en forma cerrada, por analogía con el caso diferencial (Ritt, Kolchin, Risch y otros). Se puede encontrar una introducción motivada muy agradable en el capítulo introductorio de la tesis de Carsten Schneider Symbolic Summation in Difference Fields.
$\begin{aligned} \displaystyle & \sum_{0 \le k \le n}k^2 = \sum_{0 \le k \le n}(n-k)^2 = n^2\sum_{0 \le k \le n}- 2n_suma_0 \le k \le n}k+suma_0 \le k \le n}k^2 \N-Implica 2n_suma_0 \le k \le n}k = n^2(n+1) \N-Implica \Nsuma_0 \le k \le n}k = \frac{1}{2}n(n+1). \fin {alineado}$