Tercera ley de Kepler
Las tres leyes de Kepler describen cómo los cuerpos planetarios orbitan alrededor del Sol. Describen cómo (1) los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol como foco, (2) un planeta cubre la misma área de espacio en la misma cantidad de tiempo sin importar en qué parte de su órbita se encuentre, y (3) el periodo orbital de un planeta es proporcional al tamaño de su órbita (su semieje mayor).
La historia de nuestra mayor comprensión del movimiento planetario no podría contarse si no fuera por el trabajo de un matemático alemán llamado Johannes Kepler. Kepler vivió en Graz, Austria, durante los tumultuosos comienzos del siglo XVII. Debido a las dificultades religiosas y políticas habituales en esa época, Kepler fue desterrado de Graz el 2 de agosto de 1600.
Afortunadamente, se presentó una oportunidad para trabajar como asistente del famoso astrónomo Tycho Brahe y el joven Kepler trasladó a su familia desde Graz a 300 millas de distancia a través del río Danubio hasta la casa de Brahe en Praga. A Tycho Brahe se le atribuyen las observaciones astronómicas más precisas de su época y quedó impresionado con los estudios de Kepler durante un encuentro anterior. Sin embargo, Brahe desconfiaba de Kepler, temiendo que su joven y brillante becario pudiera eclipsarle como principal astrónomo de su época. Por ello, hizo que Kepler sólo viera una parte de sus voluminosos datos planetarios.
Fórmula del período orbital
Utilizando los datos precisos recogidos por Tycho Brahe, Johannes Kepler analizó cuidadosamente las posiciones en el cielo de todos los planetas conocidos y de la Luna, trazando sus posiciones a intervalos regulares de tiempo. A partir de este análisis, formuló tres leyes, que abordamos en esta sección.
La opinión predominante en la época de Kepler era que todas las órbitas planetarias eran circulares. Los datos relativos a Marte supusieron el mayor desafío a esta opinión y eso acabó animando a Kepler a abandonar la idea popular. La primera ley de Kepler afirma que todos los planetas se mueven a lo largo de una elipse, con el Sol situado en un foco de la misma. Una elipse se define como el conjunto de todos los puntos tales que la suma de la distancia de cada punto a dos focos es una constante. La figura 13.16 muestra una elipse y describe una forma sencilla de crearla.
es una constante. A partir de esta definición, puedes ver que una elipse se puede crear de la siguiente manera. Coloca un alfiler en cada foco, luego coloca un lazo de cuerda alrededor de un lápiz y los alfileres. Manteniendo la cuerda enseñada, mueve el lápiz en un circuito completo. Si los dos focos ocupan el mismo lugar, el resultado es un círculo, un caso especial de elipse. (b) Para una órbita elíptica, si
Derivación de la primera ley de Kepler
Más de 20 años antes de que naciera Newton, un hombre llamado Johannes Kepler intentó explicar las órbitas de los planetas. También él planteó que las leyes físicas podrían explicar los movimientos, pero no poseía las herramientas (matemáticas y físicas) de las que dispondría Newton décadas más tarde (aunque hay que reconocer que Newton desarrolló estas herramientas para sí mismo). En cambio, Kepler contaba con las mediciones extraordinariamente detalladas y precisas de los movimientos planetarios realizadas por un astrónomo llamado Tycho Brahe, que utilizó para buscar patrones en los movimientos. Sorprendentemente, descubrió que los planetas se movían con precisión matemática, y publicó sus tres leyes del movimiento celeste, que coinciden exactamente con la ley de la gravitación universal. Al leer sus tres leyes, piense en el monumental logro que supuso. Los datos de Tycho Brahe detallan los movimientos de los planetas tal y como él los veía desde la Tierra (que a su vez orbita alrededor del Sol).
Hay muchas formas de describir matemáticamente esa órbita. Una forma habitual es escribir la distancia entre los dos cuerpos en función del ángulo que la línea que los une forma con el eje mayor (más largo):
Fórmula de aceleración del satélite
La prueba original de Newton se basaba, de hecho, en la geometría (aún no había inventado el cálculo). Richard Feynman ideó su propia prueba geométrica, más sencilla, para una de sus famosas conferencias. Puedes encontrarla en Feynman’s Lost Lecture, de Goodstein & Goodstein, y en este artículo: Paths of the Planets, de Hall & Higson. Pero como es tan divertido, lo describiré también aquí.
En este punto, el argumento de Feyman se desvía de Newton: mientras que Newton divide la órbita en trozos de igual tiempo, Feyman considera trozos de igual ángulo. En otras palabras, Feynman divide la órbita en trozos sucesivos con áreas
es decir, los intervalos de $\Delta\theta$ constantes también tienen un cambio de velocidad constante. Podemos utilizar este hecho para construir el llamado diagrama de velocidades. Dividir la órbita en trozos de igual ángulo, dibujar los vectores de velocidad y trasladar estos vectores al mismo punto.