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Metodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias

julio 1, 2022
Metodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones diferenciales ordinarias

El tema de este libro es la solución de ecuaciones diferenciales rígidas y de sistemas diferenciales-algebraicos (ecuaciones diferenciales con restricciones). Hay un capítulo sobre los métodos de un paso y de extrapolación para problemas rígidos, otro sobre los métodos de varios pasos y los métodos lineales generales para problemas rígidos, un tercero sobre el tratamiento de los problemas de perturbaciones singulares, y un último sobre los problemas diferenciales-algebraicos con aplicaciones a los sistemas mecánicos con restricciones. El comienzo de cada capítulo es de carácter introductorio, seguido de las aplicaciones prácticas, la discusión de los resultados numéricos, las investigaciones teóricas sobre el orden y la precisión, la estabilidad lineal y no lineal, la convergencia y las expansiones asintóticas. Los problemas rígidos y diferenciales-algebraicos surgen por doquier en los cálculos científicos (por ejemplo, en física, química, biología, ingeniería de control, análisis de redes eléctricas, sistemas mecánicos). Se presentan numerosas aplicaciones y programas informáticos.

 

Ecuaciones diferenciales acopladas

plot!(sol.t, t->0.5*exp(1.01t),lw=3,ls=:dash,label=»¡Solución verdadera!»)donde las piezas se describen a continuación.Paso 1: Definir un problemaPara resolverlo numéricamente, definimos un tipo de problema dándole la ecuación, la condición inicial y el tiempo a resolver:using DifferentialEquations

0,438También se incluyen funciones de comodidad. Podemos construir un array utilizando una comprensión sobre las tuplas de solución mediante:[t+u para (u,t) en tuplas(sol)]o más generalmente[t+2u para (u,t) en zip(sol.u,sol.t)]permite utilizar más partes del tipo de solución. El objeto que se devuelve por defecto actúa como una solución continua a través de una interpolación. Podemos acceder a los valores interpolados tratando a sol como una función, por ejemplo:sol(0.45) # El valor de la solución en t=0.45Nótese la diferencia entre estos: la indexación con [i] es el valor en el iésimo paso, mientras que (t) es una interpolación en el tiempo t¡ Si en el solver dense=true (esto es lo que viene por defecto a menos que se use saveat), entonces esta interpolación es una interpolación de alto orden y por lo tanto suele coincidir con el error de los puntos temporales de la solución. Las interpolaciones asociadas a cada solucionador se detallan en la página del algoritmo del solucionador. Si dense=false (a menos que se establezca específicamente, esto sólo ocurre cuando save_everystep=false o saveat se utiliza) entonces esto da por defecto una interpolación lineal.Para más detalles sobre el manejo de la salida, ver la página de manejo de la solución.Trazado de solucionesAunque uno puede trazar directamente los puntos de tiempo de la solución utilizando las herramientas dadas anteriormente, los comandos de conveniencia son definidos por las recetas para Plots.jl. Para trazar el objeto solución, simplemente llame a plot:#]add Plots # ¡Necesita instalar Plots.jl antes de usarlo por primera vez!

Resolver numéricamente una ecuación diferencial

Los métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias son métodos utilizados para encontrar aproximaciones numéricas a las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Su uso también se conoce como «integración numérica», aunque este término también puede referirse al cálculo de integrales.

Muchas ecuaciones diferenciales no pueden resolverse mediante el cálculo simbólico («análisis»). Sin embargo, para fines prácticos, como en la ingeniería, a menudo es suficiente una aproximación numérica a la solución. Los algoritmos estudiados aquí pueden utilizarse para calcular dicha aproximación. Un método alternativo es utilizar técnicas de cálculo para obtener una expansión en serie de la solución.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se dan en muchas disciplinas científicas, como la física, la química, la biología y la economía[1] Además, algunos métodos de ecuaciones diferenciales parciales numéricas convierten la ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria, que luego debe resolverse.

Sin perder la generalidad de los sistemas de orden superior, nos limitamos a las ecuaciones diferenciales de primer orden, porque una EDO de orden superior puede convertirse en un sistema más grande de ecuaciones de primer orden introduciendo variables adicionales. Por ejemplo, la ecuación de segundo orden y′′ = -y puede reescribirse como dos ecuaciones de primer orden: y′ = z y z′ = -y.

Metodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales

La función f(y,x)f(y, x)f(y,x) puede ser arbitrariamente compleja y no lineal en ambos argumentos y el par de valores (x0,y0)(x_0, y_0)(x0,y0) define los valores iniciales de la ecuación. Esta forma de la EDO se conoce como problema de valor inicial. Para garantizar la existencia de una solución se suele suponer que la fff es contigua sobre el dominio en el que queremos resolverla y cumple la condición de Lipschitz para garantizar la unicidad de esta solución. La razón por la que esta ecuación se llama de primer orden reside en el hecho de que sólo la primera derivada sobre yyy está presente en la ecuación. Para completar la nomenclatura, la EDO se llama lineal si f(y,x)f(y, x)f(y,x) es como máximo lineal en la variable dependiente yyy, es decir, es de la forma f(y,x)=s(x)+y(x)t(x)f(y,x) = s(x) + y(x) t(x)f(y,x)=s(x)+y(x)t(x).

La función f(y,x)f(y,x)f(y,x) representa el gradiente de la función y(x)y(x)y(x) dado el valor de la función y(x)y(x) en el punto xxx y puede visualizarse mejor utilizando un Campo de Dirección–un tipo de campo vectorial para EDOs. Este vector se define como

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