Números de Pell
A continuación discutiremos si la ecuación de Pell está bien nombrada. Con esto queremos decir simplemente: ¿contribuyó Pell en algo al estudio de la ecuación de Pell? No cabe duda de que la ecuación había sido estudiada en profundidad durante cientos de años antes de que naciera Pell. De hecho, la primera contribución de Brahmagupta se realizó unos 1000 años antes de la época de Pell y es con la contribución de Brahmagupta con la que comenzamos nuestro estudio histórico.
Ahora bien, aunque es justo decir que Brahmagupta fue el primero en estudiar esta ecuación, es igualmente posible ver que autores anteriores habían estudiado problemas relacionados con la ecuación de Pell. Por mencionar brevemente algunos: Diofanto examina problemas relacionados con la ecuación de Pell y podemos reducir el “problema del ganado” de Arquímedes a la resolución de la ecuación de Pell, aunque no hay pruebas de que Arquímedes hiciera esta conexión.
La prueba que hemos dado se debe a los matemáticos europeos del siglo XVII (y la comentaremos más adelante en este artículo), pero el lema de Brahmagupta fue descubierto por Brahmagupta en el año 628 de nuestra era. Los matemáticos indios llamaron al método samasa, pero nosotros lo llamaremos “método de composición”. De hecho, este método de composición permitió a Brahmagupta realizar una serie de descubrimientos fundamentales sobre la ecuación de Pell.
Cómo encontrar la solución fundamental de la ecuación de Pell
La ecuación de Pell es una ecuación diofantina muy sencilla, pero fundamental, que se cree que los matemáticos conocen desde hace más de 2000 años. Debido a su popularidad, la ecuación de Pell se discute a menudo en los libros de texto y en los libros recreativos relativos a la teoría elemental de los números, pero normalmente no con mucha profundidad. Este libro ofrece un enfoque moderno y más profundo del problema de la resolución de la ecuación de Pell. El componente principal serán las técnicas computacionales, pero en el proceso de derivarlas será necesario desarrollar la teoría correspondiente.
Uno de los objetivos de este libro es proporcionar una introducción menos intimidante para los estudiantes de grado superior y otras personas con el mismo nivel de preparación a las delicias de la teoría algebraica de números a través de un objeto matemático que ha fascinado a la gente desde la época de Arquímedes. Para ello, esta obra se hace accesible a cualquier persona con algún conocimiento de la teoría elemental de números y del álgebra abstracta. Se proporcionan muchas referencias y notas para quienes deseen seguir con varios temas, y los autores también describen algunas aplicaciones bastante sorprendentes a la criptografía.
Fracciones continuas de la ecuación de Pell
A continuación discutiremos si la ecuación de Pell está bien nombrada. Con esto queremos decir simplemente: ¿contribuyó Pell en algo al estudio de la ecuación de Pell? No cabe duda de que la ecuación había sido estudiada en profundidad durante cientos de años antes de que naciera Pell. De hecho, la primera contribución de Brahmagupta se realizó unos 1000 años antes de la época de Pell y es con la contribución de Brahmagupta con la que comenzamos nuestro estudio histórico.
Ahora bien, aunque es justo decir que Brahmagupta fue el primero en estudiar esta ecuación, es igualmente posible ver que autores anteriores habían estudiado problemas relacionados con la ecuación de Pell. Por mencionar brevemente algunos: Diofanto examina problemas relacionados con la ecuación de Pell y podemos reducir el “problema del ganado” de Arquímedes a la resolución de la ecuación de Pell, aunque no hay pruebas de que Arquímedes hiciera esta conexión.
La prueba que hemos dado se debe a los matemáticos europeos del siglo XVII (y la comentaremos más adelante en este artículo), pero el lema de Brahmagupta fue descubierto por Brahmagupta en el año 628 de nuestra era. Los matemáticos indios llamaron al método samasa, pero nosotros lo llamaremos “método de composición”. De hecho, este método de composición permitió a Brahmagupta realizar una serie de descubrimientos fundamentales sobre la ecuación de Pell.
Ecuación de Pell generalizada
Cualquier algoritmo para calcular las unidades fundamentales de un campo numérico cuadrático real $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ puede utilizarse para resolver la ecuación de Pell. (Puede que tengas que hacer un poco de trabajo para convertir el resultado, pero eso se puede hacer en tiempo polinómico…)
La única cosa que añadiría aquí es que, si la principal preocupación es la longitud del período, los dígitos de la fracción continua son los valores absolutos de mis $\delta$, por lo que a veces el período de la fracción continua es la mitad de la longitud del ciclo.
Existe un algoritmo cuántico para resolver la ecuación de Pell, el algoritmo da una velocidad superpolinomial. Dada una ecuación, $x^2 – dy^2 = 1$, el objetivo es encontrar una solución entera a la ecuación. Este problema puede ser resuelto por un Algoritmo Cuántico en el que el algoritmo para resolver la ecuación de Pell eficientemente
aproxima el periodo de una función periódica con un periodo irracional. El algoritmo cuántico funciona encontrando un regulador $R = ln(x_{1} + y_{1}\sqrt{d})$, y está estrechamente relacionado con la búsqueda del ideal principal.