Símbolo de los números reales
Los números reales son un conjunto de números con propiedades teóricas y prácticas muy importantes. Se puede considerar que son los números utilizados para la medición ordinaria de cosas físicas como la longitud, el área, el peso, la carga, etc. Los matemáticos denotan el conjunto de números reales con una letra mayúscula adornada:
Los números reales suelen representarse mediante una representación decimal (o de cualquier otra base), como en 3,1416. Se puede demostrar que cualquier representación decimal que termine o entre en un patrón de repetición infinito es racional. Los otros números son números reales que son irracionales. Los ejemplos son
Formalmente, los números reales son la extensión de los racionales que es métricamente completa, como se explica a continuación. También podrían definirse como el campo único que es ordenado, métricamente completo y arquimediano. Los reales pueden construirse a partir de los racionales mediante cortes de Dedekind o secuencias de Cauchy, como se explica a continuación.
La recta real es útil como sistema de coordenadas para graficar funciones. Así, el eje x y el eje y son instancias de la recta real. La recta real es la base de las medidas geométricas y, en general, de las ideas de topología métrica.
Números naturales
Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos de un conjunto se denominan elementos o miembros. Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier tipo de objeto, ¡incluso conjuntos! Los miembros de un conjunto ni siquiera tienen que ser del mismo tipo. Por ejemplo, aunque no tenga ninguna aplicación significativa, un conjunto puede estar formado por números y nombres.
Solemos utilizar letras mayúsculas como \(A\), \(B\), \(C\), \(S\) y \(T\) para representar conjuntos, y denotar sus elementos genéricos por sus correspondientes letras minúsculas \(a\), \(b\), \(c\), \(s\) y \(t\), respectivamente. Para indicar que \(b\) es un elemento del conjunto \(B\), adoptamos la notación \(b\in B\), que significa ” \(b\) pertenece a \(B\)” o ” \(b\) es un elemento de \(B\)”. En consecuencia, decir que \N(x\nmathbb {R}) es otra forma de decir que \N(x\) es un número real.
Designamos estas notaciones para algunos conjuntos especiales de números: \N-[\N-inicio{alineado} \N} &=& \mbox{el conjunto de los números naturales}, \mathbb{Z} &=& \mbox{el conjunto de los números enteros}, \mathbb{Q} &=& \mbox{el conjunto de los números racionales}, \mathbb{R} &=& \mbox{el conjunto de los números reales}. \[end{aligned}] Todos ellos son conjuntos infinitos, porque todos contienen infinitos elementos. En cambio, los conjuntos finitos contienen un número finito de elementos.
Juegos de números
Representar (o codificar) un número significa expresarlo en forma binaria. Representar números en un ordenador es necesario para que éste pueda almacenarlos y manipularlos. Sin embargo, el problema es que un número matemático puede ser infinito, pero la representación de un número en un ordenador debe ocupar un número predefinido de bits. La clave, pues, es poder predefinir un número de bits, y cómo interpretarlos, para poder representar la cifra de la forma más eficiente posible. En este artículo, hablamos de la representación de los números naturales y reales y de los enteros en un ordenador.
Un número natural es un entero positivo o un cero. La elección del número de bits a utilizar depende del rango de números a utilizar. Para codificar los números naturales entre 0 y 255, sólo se necesitan 8 bits (un byte), ya que 28=256. En general, para representar números naturales entre 0 y 2n-1 se puede utilizar una codificación de n bits.
Para representar un número natural, una vez definido el número de bits que se utilizarán para codificarlo, hay que organizar los bits en una celda binaria, colocando cada bit según su peso binario de derecha a izquierda, y rellenar los bits no utilizados con ceros.
Números complejos
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En matemáticas, un número real es un valor de una cantidad continua que puede representar una distancia a lo largo de una línea (o alternativamente, una cantidad que puede representarse como una expansión decimal infinita). El adjetivo real en este contexto fue introducido en el siglo XVII por René Descartes, que distinguió entre raíces reales e imaginarias de polinomios. Los números reales incluyen todos los números racionales, como el entero -5 y la fracción 4/3, y todos los números irracionales, como
(1,41421356…, la raíz cuadrada de 2, un número algebraico irracional). Dentro de los irracionales están los números reales trascendentales, como π (3,14159265…)[1] Además de para medir la distancia, los números reales pueden utilizarse para medir cantidades como el tiempo, la masa, la energía, la velocidad y muchas más. El conjunto de los números reales se denota con el símbolo R o