Ecuación diferencial cambio de variables
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En matemáticas, un cambio de variables es una técnica básica utilizada para simplificar problemas en los que las variables originales se sustituyen por funciones de otras variables. La intención es que al ser expresado en nuevas variables, el problema se vuelva más simple, o equivalente a un problema mejor entendido.
El cambio de variables es una operación relacionada con la sustitución. Sin embargo, son operaciones diferentes, como se puede ver al considerar la diferenciación (regla de la cadena) o la integración (integración por sustitución).
{\displaystyle {\begin{aligned}&{frac {d}{dx}}sin(x^{2})=\brac {{frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}},{\frac {du}{dx}} ^{texto{Esta parte es la regla de la cadena.}}={Izquierda}({\frac {d}{du}}sin u{directo}){{Izquierda}({\frac {d}{dx}x^{2}{directo})={{}&{{ccos u{big )}(2x)={cos(x^{2}){{dot 2x.}{final{alineado}}.
Integración cambio de variable
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En esencia, se trata de tomar una integral en términos de \ (x\) y cambiarla en términos de \ (u\). Queremos hacer algo similar para las integrales dobles y triples. De hecho ya lo hemos hecho en cierta medida cuando convertimos integrales dobles a coordenadas polares y cuando convertimos integrales triples a coordenadas cilíndricas o esféricas. La principal diferencia es que no hemos estudiado los detalles de dónde proceden las fórmulas. Si recuerdas, en cada uno de esos casos comentamos que en algún momento justificaríamos las fórmulas de \ (dA\) y \ (dV\). Ahora es el momento de hacer esa justificación.
Cambio de fórmula de probabilidad variable
Los pasos para el cambio de variables en una ecuación diferencial separableA veces nos darán una ecuación diferencial de la forma ??y’=Q(x)-P(x)y?? y nos pedirán que encontremos una solución general a la ecuación, que será una ecuación para ??y?? en términos de ??x??.En este caso, puede ser muy útil utilizar un cambio de variable para encontrar la solución. Para utilizar un cambio de variable, seguiremos estos pasos: Sustituye “u” por “y”, de modo que la ecuación se convierta en “u” = Q(x)-P(x)y”.Resuelve “y”.Toma la derivada de ambos lados para obtener “y”. Dado que “u” = “y”, sustituye “y” por “u”.Resuelve “u” y sustituye “u” por “du/dx”.Separa las variables para poner “u” en un lado y “x” en el otro. Integrar ambos lados con respecto a “x”, y luego resolver para “u”.Como “u”=Q(x)-P(x)y”, volver a sustituir “u” por “Q(x)-P(x)y”.Resolver para “y” en términos de “x” para encontrar la solución general. Estos pasos pueden ser difíciles de recordar y complicados de seguir, pero la clave es eliminar todos los valores de “y”, “y” y “x” y sustituirlos por “u” y “u”. Si consigues que la ecuación quede completamente en términos de “u” y “u”, el resto del problema debería encajar.
Probabilidad de cambio de variables
naturalmente consideramos el cambio de variable \(u = x^2+1\text{,}\}) De esta sustitución, se deduce que \(du = 2x \, dx\text{,}\} y como \(x = 0\) implica \(u = 1\) y \(x = 2\) implica \(u = 5text{,}\} hemos transformado la integral original en \(x\) en una nueva integral en \(u\text{,}\} En particular,
A través de nuestro trabajo con coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, ya hemos visto implícitamente algunos de los problemas que surgen al utilizar un cambio de variables con dos o tres variables presentes. En lo que sigue, buscamos entender las ideas generales que hay detrás de cualquier cambio de variables en una integral múltiple.
Una transformación es otro nombre para la función: aquí, las ecuaciones \(x = r\cos(\theta)\) y \(y = r\sin(\theta)\) definen una función \(T\) por \(T(r, \theta) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))\theta) de forma que \ T\ es una función (transformación) de \ R^2\) a \ R^2\text{. Consideramos esta transformación como una versión del plano \(xy\) en la que los ejes representan \(r\) y \(\theta) (el plano \(r\theta)) al conocido plano \(xy\).