Saltar al contenido

Cambio de variable en ecuaciones diferenciales

junio 10, 2022
Cambio de variable en ecuaciones diferenciales

Integral de cambio de variables

naturalmente consideramos el cambio de variable \(u = x^2+1\text{,}\}) De esta sustitución se deduce que \(du = 2x \, dx\text{,}\}) y como \(x = 0\) implica \(u = 1\) y \(x = 2\) implica \(u = 5text{,}\} hemos transformado la integral original en \(x\) en una nueva integral en \(u\text{,}\} En particular,

A través de nuestro trabajo con coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, ya hemos visto implícitamente algunos de los problemas que surgen al utilizar un cambio de variables con dos o tres variables presentes. En lo que sigue, buscamos entender las ideas generales que hay detrás de cualquier cambio de variables en una integral múltiple.

Una transformación es otro nombre para la función: aquí, las ecuaciones \(x = r\cos(\theta)\) y \(y = r\sin(\theta)\) definen una función \(T\) por \(T(r, \theta) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))\theta) de forma que \ T\ es una función (transformación) de \R^2\) a \ R^2\text{. Consideramos esta transformación como una versión del plano \(xy\) en la que los ejes representan \(r\) y \(\theta) (el plano \(r\theta)) al conocido plano \(xy\).

Teorema del cambio de variables

Las variables independientes y dependientes son importantes tanto para las matemáticas como para la ciencia. Si no entiendes qué son estas dos variables y en qué se diferencian, te costará analizar un experimento o trazar ecuaciones. Afortunadamente, ¡hacemos que aprender estos conceptos sea fácil!

En esta guía, desglosamos lo que son las variables independientes y dependientes, damos ejemplos de las variables en experimentos reales, explicamos cómo graficarlas correctamente, proporcionamos un cuestionario para probar tus habilidades y discutimos la otra variable importante que debes conocer.

Una variable es algo que se intenta medir. Puede ser prácticamente cualquier cosa, como objetos, cantidades de tiempo, sentimientos, acontecimientos o ideas. Si estás estudiando cómo se siente la gente con respecto a diferentes programas de televisión, las variables de ese experimento son los programas de televisión y los sentimientos. Si se estudia cómo afectan los diferentes tipos de fertilizantes a la altura de las plantas, las variables son el tipo de fertilizante y la altura de la planta.

La variable independiente (a veces conocida como variable manipulada) es la variable cuyo cambio no se ve afectado por ninguna otra variable del experimento. O bien el científico tiene que cambiar la variable independiente ella misma o ésta cambia por sí sola; nada más en el experimento la afecta o la cambia. Dos ejemplos de variables independientes comunes son la edad y el tiempo. No hay nada que tú o cualquier otra persona pueda hacer para acelerar o ralentizar el tiempo o aumentar o disminuir la edad. Son independientes de todo lo demás.

Probabilidad de cambio de variables

Los pasos para el cambio de variables en una ecuación diferencial separableA veces nos dan una ecuación diferencial de la forma ??y’=Q(x)-P(x)y?? y nos piden que encontremos una solución general de la ecuación, que será una ecuación para ??y?? en términos de ??x??.En este caso, puede ser muy útil utilizar un cambio de variable para encontrar la solución. Para utilizar un cambio de variable, seguiremos estos pasos: Sustituye «u» por «y», de modo que la ecuación se convierta en «u» = Q(x)-P(x)y».Resuelve «y».Toma la derivada de ambos lados para obtener «y». Dado que «u» = «y», sustituye «y» por «u».Resuelve «u» y sustituye «u» por «du/dx».Separa las variables para poner «u» en un lado y «x» en el otro. Integrar ambos lados con respecto a «x», y luego resolver para «u».Como «u»=Q(x)-P(x)y», volver a sustituir «u» por «Q(x)-P(x)y».Resolver para «y» en términos de «x» para encontrar la solución general. Estos pasos pueden ser difíciles de recordar y complicados de seguir, pero la clave es eliminar todos los valores de «y», «y» y «x» y sustituirlos por «u» y «u». Si consigues que la ecuación quede completamente en términos de «u» y «u», el resto del problema debería encajar.

Ecuaciones diferenciales de segundo orden con cambio de variables

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla «estrecho» (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo apaisado. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

En la sección anterior vimos las ecuaciones de Bernoulli y vimos que para resolverlas necesitábamos utilizar la sustitución \(v = {y^{1 – n}}). Al utilizar esta sustitución, pudimos convertir la ecuación diferencial en una forma que pudiéramos tratar (lineal en este caso). En esta sección queremos echar un vistazo a un par de otras sustituciones que se pueden utilizar para reducir algunas ecuaciones diferenciales a una forma resoluble.

Las ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden escribirse en esta forma se denominan ecuaciones diferenciales homogéneas. Tenga en cuenta que normalmente tendremos que hacer alguna reescritura para poner la ecuación diferencial en la forma adecuada.

Esta web utiliza cookies propias para su correcto funcionamiento. Al hacer clic en el botón Aceptar, acepta el uso de estas tecnologías y el procesamiento de tus datos para estos propósitos. Más información
Privacidad