Sistema de ecuaciones diferenciales lineales
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
El primer caso especial de ecuaciones diferenciales de primer orden que veremos es la ecuación diferencial lineal de primer orden. En este caso, a diferencia de la mayoría de los casos de primer orden que veremos, podemos derivar una fórmula para la solución general. La solución general se deriva a continuación. Sin embargo, le sugerimos que no memorice la fórmula en sí. En lugar de memorizar la fórmula deberías memorizar y entender el proceso que voy a utilizar para derivar la fórmula. En realidad, la mayoría de los problemas son más fáciles de resolver utilizando el proceso en lugar de la fórmula.
Entonces, veamos cómo resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden. Recuerde que a medida que avanzamos a través de este proceso que el objetivo es llegar a una solución que está en la forma \ (y = y\left( t \right)\). A veces es fácil perder de vista el objetivo cuando pasamos por este proceso por primera vez.
Resolver una ecuación diferencial en línea
Ejemploscolapsar todosResolver ecuación diferencial Abrir script en vivoResolver la ecuación diferencial de primer orden dydt=ay.Especifique la derivada de primer orden usando diff y la ecuación usando ==. Luego, resuelva la ecuación usando dsolve.syms y(t) a
S = dsolve(eqn)S = C1 ea tLa solución incluye una constante. Para eliminar las constantes, consulta Resolver ecuaciones diferenciales con condiciones. Para obtener un flujo de trabajo completo, consulte Resolución de ecuaciones diferenciales parciales.Resolver ecuación diferencial de segundo orden Abrir script en vivoResolver la ecuación diferencial de segundo orden d2ydt2=ay.Especifique la derivada de segundo orden de y mediante diff(y,t,2) y la ecuación mediante ==. A continuación, resuelva la ecuación mediante dsolve.syms y(t) a
ySol(t) = dsolve(eqn)ySol(t) = C1 e-a t+C2 ea tResolver ecuaciones diferenciales con condiciones Open Live ScriptResuelve la ecuación diferencial de primer orden dydt=ay con la condición inicial y(0)=5.Especifica la condición inicial como segunda entrada a dsolve utilizando el operador ==. La especificación de la condición elimina las constantes arbitrarias, como C1, C2, …, de la solución.syms y(t) a
Solucionador de ecuaciones diferenciales
plot!(sol.t, t->0.5*exp(1.01t),lw=3,ls=:dash,label=”¡Solución verdadera!”)donde las piezas se describen a continuación.Paso 1: Definir un problemaPara resolverlo numéricamente, definimos un tipo de problema dándole la ecuación, la condición inicial y el tiempo a resolver:using DifferentialEquations
0,438También se incluyen funciones de comodidad. Podemos construir un array utilizando una comprensión sobre las tuplas de solución mediante:[t+u para (u,t) en tuplas(sol)]o más generalmente[t+2u para (u,t) en zip(sol.u,sol.t)]permite utilizar más partes del tipo de solución. El objeto que se devuelve por defecto actúa como una solución continua a través de una interpolación. Podemos acceder a los valores interpolados tratando a sol como una función, por ejemplo:sol(0.45) # El valor de la solución en t=0.45Nótese la diferencia entre estos: la indexación con [i] es el valor en el iésimo paso, mientras que (t) es una interpolación en el tiempo t¡ Si en el solver dense=true (esto es lo que viene por defecto a menos que se use saveat), entonces esta interpolación es una interpolación de alto orden y por lo tanto suele coincidir con el error de los puntos temporales de la solución. Las interpolaciones asociadas a cada solucionador se detallan en la página del algoritmo del solucionador. Si dense=false (a menos que se establezca específicamente, esto sólo ocurre cuando save_everystep=false o saveat se utiliza) entonces esto da por defecto una interpolación lineal.Para más detalles sobre el manejo de la salida, ver la página de manejo de la solución.Trazado de solucionesAunque uno puede trazar directamente los puntos de tiempo de la solución utilizando las herramientas dadas anteriormente, los comandos de conveniencia son definidos por las recetas para Plots.jl. Para trazar el objeto solución, simplemente llame a plot:#]add Plots # ¡Necesita instalar Plots.jl antes de usarlo por primera vez!
Ecuación diferencial lineal de primer orden
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo apaisado. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Antes de pasar a aprender a resolver ecuaciones diferenciales, queremos hacer algunas reflexiones finales. Cualquier curso de ecuaciones diferenciales se ocupará de responder a una o varias de las siguientes preguntas.
En un primer curso de ecuaciones diferenciales (como éste) la tercera pregunta es en la que nos concentraremos. Responderemos a las dos primeras preguntas para casos especiales y bastante sencillos, pero la mayor parte de nuestros esfuerzos se concentrarán en responder a la tercera pregunta para una variedad lo más amplia posible de ecuaciones diferenciales.