Base del logaritmo
Asegúrate de comprobar si las soluciones que obtienes resuelven la ecuación logarítmica original. En esta guía de estudio pondremos una marca de verificación junto a la solución después de determinar que realmente resuelve la ecuación. Este proceso a veces da lugar a soluciones extrañas, por lo que debemos comprobar nuestras respuestas.
Consejo: ¡No todas las soluciones negativas son extrañas! Mira el conjunto de problemas anteriores y observa que algunos tienen respuestas negativas. La marca de verificación indica que hemos introducido las respuestas para comprobar que efectivamente resuelven el original. Por favor, no te saltes este paso, las soluciones extrañas ocurren a menudo.
De tronco a número
Como sabes, un logaritmo es una operación matemática que es la inversa de la exponenciación. Se expresa utilizando la abreviatura “log”. Antes de entrar a resolver ecuaciones logarítmicas, hay varias estrategias y “reglas” con las que debemos familiarizarnos.
En primer lugar, para resolver ecuaciones logarítmicas, al igual que con los polinomios, debes sentirte cómodo graficando funciones logarítmicas. Consulta nuestro vídeo sobre la graficación de funciones logarítmicas para obtener una visión general si es necesario. Además, antes de entrar en las reglas de los logaritmos, es importante que también entiendas una de las estrategias más sencillas de los logaritmos: la fórmula de cambio de base. De nuevo, mira nuestro vídeo sobre la fórmula de cambio de base si necesitas un repaso. Ahora que ya dominas todo esto, vamos a ver algunas de las reglas más importantes de los logaritmos:
Todas estas reglas, en su conjunto, son herramientas extremadamente poderosas que podemos utilizar para resolver cualquier problema logarítmico. Para un repaso en vídeo de estos conceptos, consulta nuestros vídeos sobre las propiedades de los logaritmos y la regla del cociente de los logaritmos. Ahora que hemos cubierto lo esencial, ¡vamos a ver cómo resolver problemas logarítmicos!
Reglas del logaritmo
Comprueba: Puedes comprobar tu respuesta de dos maneras. Puedes representar gráficamente la función Ln(x)-8 y ver dónde cruza el eje x. Si estás en lo cierto, la gráfica debería cruzar el eje x en la respuesta que has obtenido algebraicamente.
Paso 2: Convierte la ecuación logarítmica en una ecuación exponencial: Si no se indica ninguna base, significa que la base del logaritmo es 10. Recuerda también que los logaritmos son exponentes, por lo que el exponente es
Paso 1: Observa que el primer término Ln(x-3) sólo es válido cuando x>3; el término Ln(x-2) sólo es válido cuando x>2; y el término Ln(2x+24) sólo es válido cuando x>-12. Si exigimos que x sea cualquier número real mayor que 3, los tres términos serán válidos. Si los tres términos son válidos, entonces la ecuación es válida.
Registro 2 10
Cuando dos lados de una ecuación tienen el mismo logaritmo (y las mismas bases en esos logaritmos), las expresiones interiores (llamadas argumentos) también deben ser iguales entre sí. En consecuencia, podemos hacer esta ecuación.
Observa que ambos lados de la ecuación contienen logaritmos. Sin embargo, el lado izquierdo de la ecuación tiene varios logaritmos. Cuando uno de los lados de una ecuación logarítmica tiene varios términos logarítmicos, hay que condensar los logaritmos en un solo logaritmo. Recuerda que esto sólo funciona cuando los logaritmos tienen la misma base.
Parece que tenemos dos soluciones. Sin embargo, si probáramos el valor negativo de -3 en la ecuación original, al final tendríamos que tomar el logaritmo de un valor negativo. Como no podemos tomar el logaritmo de un valor negativo, -3 se llama una solución extraña. Hay que descartarla. Por tanto, x = 3 es la única solución de esta ecuación logarítmica.
Esta sección te ayudará a entender cómo resolver ecuaciones logarítmicas que tienen un logaritmo en un solo lado de la ecuación. Esto también se aplica a las situaciones en las que las ecuaciones pueden ser manipuladas para que se encuentre un logaritmo en un solo lado de la ecuación.