Solucionador de sistemas de ecuaciones no lineales
Existen algunas conexiones estrechas entre la búsqueda de un mínimo local y la resolución de un conjunto de ecuaciones no lineales. Dado un conjunto de ecuaciones en incógnitas, buscar una solución es equivalente a minimizar la suma de cuadrados cuando el residuo es cero en el mínimo, por lo que existe una conexión especialmente estrecha con los métodos de Gauss-Newton. De hecho, el paso de Gauss-Newton para la minimización local y el paso de Newton para las ecuaciones no lineales son exactamente los mismos. Además, para una función suave, el método de Newton para la minimización local es el mismo que el método de Newton para las ecuaciones no lineales . No es sorprendente que muchos aspectos de los algoritmos sean similares; sin embargo, también hay diferencias importantes.
Otra cosa en común con los algoritmos de minimización es la necesidad de algún tipo de control de pasos. Normalmente, el control de pasos se basa en los mismos métodos que la minimización, excepto que se aplica a una función de mérito, normalmente la norma 2 suave al cuadrado, .
Cuando este paso se añade al punto , es fácil ver por qué los pasos van a la línea . Esta es una característica particular de este problema, que no es típica para la mayoría de las funciones. Dado que el enfoque de la región de confianza no intenta el paso de Newton a menos que se encuentre dentro del límite de la región, esta característica no aparece con tanta fuerza cuando se utiliza el control de pasos de la región de confianza.
Python resuelve un sistema de ecuaciones numéricamente
Una buena característica de PROC MODEL es que genera automáticamente derivadas simbólicas y las utiliza en la solución de las ecuaciones simultáneas. Si quiere usar derivadas en PROC IML, debe especificarlas usted mismo. De lo contrario, las rutinas NLP utilizan aproximaciones numéricas por diferencia finita.
Debido a que PROC NLIN está diseñado para resolver problemas de regresión, necesita reformular el problema en términos de una variable de respuesta, variables explicativas y parámetros. Recuerde que la regresión por mínimos cuadrados ordinarios le permite resolver un sistema lineal como
donde el lado izquierdo es un vector de respuesta (el vector cero), los C_i son coeficientes de regresión y los v_i son variables explicativas. (Se necesitan tres o más observaciones para resolver este problema de regresión.) PROC NLIN permite resolver problemas de regresión más complejos. En particular, los coeficientes pueden ser funciones no lineales de los parámetros. Por ejemplo, si los parámetros son (x,y,z), puede resolver el siguiente sistema:
Para resolver este sistema no lineal de ecuaciones, puede elegir las variables explicativas para que sean funciones base de coordenadas: v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), y v3=(0,0,1). Estas tres observaciones definen tres ecuaciones para tres parámetros desconocidos. En general, si se tienen n ecuaciones en n incógnitas, se pueden especificar n funciones base de coordenadas.
Resolver una ecuación diferencial no lineal
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En esta sección vamos a ver los sistemas de ecuaciones no lineales. Un sistema de ecuaciones no lineal es un sistema en el que al menos una de las variables tiene un exponente distinto de 1 y/o hay un producto de variables en una de las ecuaciones.
Para resolver estos sistemas utilizaremos el método de sustitución o el de eliminación que vimos por primera vez cuando resolvimos sistemas de ecuaciones lineales. La principal diferencia es que podemos acabar obteniendo soluciones complejas además de soluciones reales. Al igual que vimos en la resolución de sistemas de dos ecuaciones, las soluciones reales representarán las coordenadas de los puntos de intersección de las gráficas de las dos funciones.
Solucionador no lineal
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene al menos una ecuación que no es lineal. Recordemos que una ecuación lineal puede tener la forma [latex]Ax+By+C=0[/latex]. Cualquier ecuación que no pueda escribirse de esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.
[latex]\N-empieza{alinear}&x-y=-1 \\N – &x=y – 1 && \text{Resolver para }x. \\ Y = izquierda (y – 1 derecha) + 1 && \text{Sustituir la expresión para x. \\ Y=Izquierda(Y^2}-2Y+1D) +1 y… \\ &y={y}^{2}-2y+2 \\N-[3mm] &0={y}^{2}-3y+2 && \text{{puesta} igual a 0 y resolver.} |0=Izquierda(y – 2\\NDerecha)\NIzquierda(y – 1\NDerecha) \NFin[/latex]
Resolviendo para [latex]y[/latex] se obtiene [latex]y=2[/latex] y [latex]y=1[/latex]. A continuación, sustituye cada valor de [latex]y[/latex] en la primera ecuación para resolver [latex]x[/latex]. Sustituye siempre el valor en la ecuación lineal para comprobar si hay soluciones extrañas.