Crear una calculadora de sistemas de ecuaciones
Un fabricante de monopatines introduce una nueva línea de tablas. El fabricante hace un seguimiento de sus costes, que es la cantidad que gasta para producir las tablas, y de sus ingresos, que es la cantidad que gana con las ventas de sus tablas. ¿Cómo puede determinar la empresa si está obteniendo beneficios con su nueva línea? ¿Cuántas tablas de skate deben producirse y venderse para obtener un beneficio? En esta sección consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder a estas y otras preguntas similares.
Para investigar situaciones como la del fabricante de monopatines, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para encontrar la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber al menos tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
Cómo crear un sistema de ecuaciones a partir de un problema de palabras
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es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x, y, z. Una solución de un sistema lineal es una asignación de valores a las variables tal que todas las ecuaciones se satisfacen simultáneamente. Una solución del sistema anterior viene dada por la siguiente tripleta ordenada.
En matemáticas, la teoría de los sistemas lineales es la base y una parte fundamental del álgebra lineal, materia que se utiliza en la mayor parte de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica, y desempeñan un papel destacado en ingeniería, física, química, informática y economía. Un sistema de ecuaciones no lineales puede aproximarse a menudo mediante un sistema lineal (véase linealización), una técnica útil cuando se hace un modelo matemático o una simulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.
Cómo crear un sistema de ecuaciones lineales
home / álgebra / resolver ecuaciones / sistema de ecuacionesSistemas de ecuacionesLos sistemas de ecuaciones son conjuntos de ecuaciones donde la solución es el punto(s) de intersección entre las ecuaciones. La mayoría de los sistemas de ecuaciones que se ven en álgebra son conjuntos de dos ecuaciones lineales en la forma estándar Ax + By = C.
Hay tres métodos que se utilizan normalmente para resolver sistemas de ecuaciones lineales: la gráfica, el método de sustitución y el método de eliminación. Estos métodos pueden aplicarse también a sistemas más complejos de ecuaciones no lineales.
La resolución de sistemas de ecuaciones por medio de gráficos se realiza graficando cada ecuación del sistema e identificando el punto o puntos de intersección. Puede ser más fácil graficar las ecuaciones convirtiendo la forma estándar de cada ecuación a la forma de intersección de pendientes.
La resolución de sistemas de ecuaciones mediante el método de sustitución implica la sustitución de una variable en una ecuación por el equivalente de esa variable, calculado mediante la otra ecuación. Consulta un ejemplo a continuación.
Puedes decidir qué variable resolver examinando cada coeficiente. Las variables con coeficientes de 1 son las más fáciles de resolver porque no tendrás que dividir por nada. Las variables con coeficientes que no se dividen bien entre otros coeficientes crean fracciones desordenadas.
Cómo escribir un sistema de ecuaciones lineales a partir de un problema de palabras
solución.Sistemas sobredeterminadosAbrir Live ScriptEste ejemplo muestra cómo los sistemas sobredeterminados se encuentran a menudo en varios tipos de ajuste de curvas a los datos experimentales.Una cantidad y se mide en varios valores diferentes de tiempo t para producir las siguientes observaciones. Puede introducir los datos y visualizarlos en una tabla con las siguientes afirmaciones.t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]’;
Intenta modelar los datos con una función exponencial decrecientey(t)=c1+c2e-t.La ecuación anterior dice que el vector y debe ser aproximado por una combinación lineal de otros dos vectores. Uno es un vector constante que contiene todos los unos y el otro es el vector con componentes exp(-t). Los coeficientes desconocidos, c1 y c2, pueden calcularse haciendo un ajuste por mínimos cuadrados, que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto al modelo. Hay seis ecuaciones en dos incógnitas, representadas por una matriz de 6 por 2.E = [ones(size(t)) exp(-t)]E = 6×2
plot(T,Y,’-‘,t,y,’o’)E*c no es exactamente igual a y, pero la diferencia podría ser menor que los errores de medición en los datos originales.Una matriz rectangular A es de rango deficiente si no tiene columnas linealmente independientes. Si A tiene un rango deficiente, la solución por mínimos cuadrados de AX = B no es única. A\B emite una advertencia si A tiene un rango deficiente y produce una solución de mínimos cuadrados. Puede utilizar lsqminnorm para encontrar la solución X que tiene la norma mínima entre todas las soluciones.Sistemas infradeterminadosEste ejemplo muestra cómo la solución de los sistemas infradeterminados no es única. Los sistemas lineales subdeterminados implican más incógnitas que ecuaciones. La operación de división matricial a la izquierda en MATLAB encuentra una solución básica de mínimos cuadrados, que tiene como máximo m componentes no nulos para una matriz de m por n coeficientes.He aquí un pequeño ejemplo aleatorio:R = [6 8 7 3; 3 5 4 1]