Fórmula de excentricidad
Una curva cónica tiene una amplia gama de aplicaciones en el mundo real. Las curvas cónicas pueden verse en edificios, templos, mezquitas, balones de fútbol, conos de helado, etc. Hay un capítulo específico sobre las secciones cónicas en la clase 11 que explica las aplicaciones de las curvas cónicas en diversos ámbitos, como el movimiento planetario, el diseño de telescopios y antenas, los reflectores de las linternas y los faros de los automóviles, etc. Si estás estudiando este capítulo y necesitas ayuda para entender los puntos clave, aquí tienes los apuntes y el resumen sobre las secciones cónicas.
Según el NCERT de matemáticas de la clase 11, una sección cónica es una curva formada por el cruce entre la superficie de un cono y un plano y se conoce comúnmente como cónicas. Hay tres tipos de cónicas – Elipse, Parábola e Hipérbola. Estos son los principales puntos de diferencia entre estas tres figuras.
Para resolver las preguntas formuladas en las secciones de cónicas de la clase 11, es necesario conocer los términos utilizados en varias preguntas del capítulo. Aprenderás nuevos términos como excentricidad, focos y directriz, longitud del latus rectum, etc. Estos son los principales términos de este capítulo:
Función de hipérbola
En geometría analítica, una hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un cono circular recto con un plano en un ángulo tal que las dos mitades del cono se cruzan. Esta intersección produce dos curvas separadas no limitadas que son imágenes especulares la una de la otra.
Al igual que la elipse, la hipérbola también puede definirse como un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos [latex]\left(x,y\right)[/latex] de un plano tales que la diferencia de las distancias entre [latex]\left(x,y\right)[/latex] y los focos es una constante positiva.
Observa que la definición de hipérbola es muy similar a la de elipse. La diferencia es que la hipérbola se define en términos de la diferencia de dos distancias, mientras que la elipse se define en términos de la suma de dos distancias.
Al igual que la elipse, toda hipérbola tiene dos ejes de simetría. El eje transversal es un segmento de recta que pasa por el centro de la hipérbola y tiene como puntos extremos los vértices. Los focos se encuentran en la recta que contiene el eje transversal. El eje conjugado es perpendicular al eje transversal y tiene como puntos extremos los covértices. El centro de una hipérbola es el punto medio de los ejes transversal y conjugado, donde se cruzan. Toda hipérbola tiene también dos asíntotas que pasan por su centro. A medida que una hipérbola se aleja del centro, sus ramas se acercan a estas asíntotas. El rectángulo central de la hipérbola está centrado en el origen con lados que pasan por cada vértice y covértice; es una herramienta útil para graficar la hipérbola y sus asíntotas. Para trazar las asíntotas de la hipérbola, basta con trazar y extender las diagonales del rectángulo central.
Calculadora de la ecuación de la hipérbola
La última sección cónica que veremos se llama hipérbola. Veremos que la ecuación de una hipérbola se parece a la ecuación de una elipse, excepto que es una diferencia en lugar de una suma. Aunque las ecuaciones de una elipse y una hipérbola son muy similares, sus gráficas son muy diferentes.
La línea que pasa por los focos se llama eje transversal. Los dos puntos en los que el eje transversal se cruza con la hipérbola son cada uno un vértice de la misma. El punto medio del segmento que une los focos se llama centro de la hipérbola. La recta perpendicular al eje transversal que pasa por el centro se llama eje conjugado. Cada trozo de la gráfica se llama rama de la hipérbola.
De nuevo nuestro objetivo es conectar la geometría de una cónica con el álgebra. Colocar la hipérbola en un sistema de coordenadas rectangulares nos da esa oportunidad. En la figura, colocamos la hipérbola de modo que los focos \((-c,0),(c,0))\Nestán en el eje \N(x\) y el centro es el origen.
La definición establece que la diferencia de la distancia de los focos a un punto \((x,y)\) es constante. Así que \(|d_{1}-d_{2}|) es una constante que llamaremos \(2a\) por lo que \(|d_{1}-d_{2} |=2 a\). Utilizaremos la fórmula de la distancia para llegar a una fórmula algebraica para una elipse.
Ecuación de la hipérbola en forma estándar
Una hipérbolaEs el conjunto de puntos de un plano cuyas distancias a dos puntos fijos, llamados focos, tiene una diferencia absoluta que es igual a una constante positiva. es el conjunto de puntos de un plano cuyas distancias a dos puntos fijos, llamados focos, tiene una diferencia absoluta que es igual a una constante positiva. En otras palabras, si los puntos F1 y F2 son los focos y d es una constante positiva dada, entonces (x,y) es un punto de la hipérbola si d=|d1-d2| como se muestra a continuación:
Además, una hipérbola está formada por la intersección de un cono con un plano oblicuo que corta la base. Consta de dos curvas separadas, llamadas ramasLas dos curvas separadas de una hipérbola.. Los puntos de las ramas separadas de la gráfica donde la distancia es mínima se llaman vértices.Puntos de las ramas separadas de una hipérbola donde la distancia es mínima. El punto medio entre los vértices de una hipérbola es su centro. A diferencia de una parábola, una hipérbola es asintótica a ciertas líneas trazadas a través del centro. En esta sección, nos centraremos en graficar las hipérbolas que se abren a la izquierda y a la derecha o hacia arriba y hacia abajo.