Calculadora de ecuaciones no lineales
El cometa Halley (Figura \(\PageIndex{1})) orbita el sol aproximadamente una vez cada \(75\) años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales pueden estudiarse mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.
En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una recta, un círculo y una recta, y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene al menos una ecuación que no es lineal. Recordemos que una ecuación lineal puede tener la forma \(Ax+By+C=0\). Cualquier ecuación que no pueda escribirse de esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.
Ecuación diferencial no lineal
El cometa Halley (figura 1) orbita alrededor del sol una vez cada 75 años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales pueden estudiarse mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales.
En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una recta, un círculo y una recta, y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales.
Cualquier ecuación que no pueda escribirse de esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.
Hemos visto que la sustitución suele ser el método preferido cuando un sistema de ecuaciones incluye una ecuación lineal y una ecuación no lineal. Sin embargo, cuando las dos ecuaciones del sistema tienen variables semejantes de segundo grado, resolverlas utilizando la eliminación por adición suele ser más fácil que la sustitución. En general, la eliminación es un método mucho más sencillo cuando el sistema implica sólo dos ecuaciones en dos variables (un sistema de dos por dos), en lugar de un sistema de tres por tres, ya que hay menos pasos. Como ejemplo, investigaremos los posibles tipos de soluciones al resolver un sistema de ecuaciones que representa una circunferencia y una elipse.
No lineal
En matemáticas y ciencias, un sistema no lineal es un sistema en el que el cambio de la salida no es proporcional al cambio de la entrada[1][2] Los problemas no lineales son de interés para ingenieros, biólogos,[3][4][5] físicos,[6][7] matemáticos y muchos otros científicos porque la mayoría de los sistemas son inherentemente no lineales por naturaleza[8]. [Los sistemas dinámicos no lineales, que describen cambios en las variables a lo largo del tiempo, pueden parecer caóticos, impredecibles o contraintuitivos, lo que contrasta con los sistemas lineales mucho más simples.
Típicamente, el comportamiento de un sistema no lineal se describe en matemáticas mediante un sistema no lineal de ecuaciones, que es un conjunto de ecuaciones simultáneas en las que las incógnitas (o las funciones desconocidas en el caso de las ecuaciones diferenciales) aparecen como variables de un polinomio de grado superior a uno o en el argumento de una función que no es un polinomio de grado uno.
En otras palabras, en un sistema de ecuaciones no lineal, la(s) ecuación(es) a resolver no puede(n) escribirse como una combinación lineal de las variables o funciones desconocidas que aparecen en ellas. Los sistemas pueden definirse como no lineales, independientemente de que aparezcan funciones lineales conocidas en las ecuaciones. En particular, una ecuación diferencial es lineal si es lineal en términos de la función desconocida y sus derivadas, aunque sea no lineal en términos de las otras variables que aparecen en ella.
Resolver un sistema de ecuaciones no lineales
Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene al menos una ecuación que no es lineal. Recordemos que una ecuación lineal puede tomar la forma [latex]Ax+By+C=0[/latex]. Cualquier ecuación que no pueda escribirse de esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados.
[latex]\N-empieza{alinear}&x-y=-1 \N- &x=y – 1 && \text{resolver para }x. \\ Y = izquierda (y – 1 derecha) + 1 && \text{Sustituir la expresión para x. \\ Y=Izquierda(Y^2}-2Y+1D) +1 y… \\ &y={y}^{2}-2y+2 \\N-[3mm] &0={y}^{2}-3y+2 && \text{{puesta} igual a 0 y resolver.} |0=Izquierda(y – 2\\NDerecha)\NIzquierda(y – 1\NDerecha) \NFin[/latex]
Resolviendo para [latex]y[/latex] se obtiene [latex]y=2[/latex] y [latex]y=1[/latex]. A continuación, sustituye cada valor de [latex]y[/latex] en la primera ecuación para resolver [latex]x[/latex]. Sustituye siempre el valor en la ecuación lineal para comprobar si hay soluciones extrañas.