Cómo resolver 2 ecuaciones con 2 variables
Laura recibió su maestría en Matemáticas Puras de la Universidad Estatal de Michigan, y su licenciatura en Matemáticas de la Universidad Estatal de Grand Valley. Tiene 20 años de experiencia en la enseñanza de las matemáticas universitarias en varias instituciones.
Esta lección te ayudará a familiarizarte con los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones. Después de una rápida revisión de la definición de un sistema de ecuaciones, veremos cada uno de los diferentes tipos de sistemas y cómo identificarlos.
Como resultado de la aplicación de un sistema de ecuaciones a una situación del mundo real, sabemos que había 172 adultos y 86 niños en la fiesta. Ahora que hemos revisado lo que es un sistema de ecuaciones, veamos los diferentes tipos de sistemas.
Sistemas consistentes e inconsistentesUn conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones consiste en todas las soluciones de ese sistema. Hay tres posibilidades para el conjunto de soluciones de un sistema. 1.) El sistema tiene un número finito de soluciones. 2.) El sistema tiene un número infinito de soluciones. 3.) El sistema no tiene soluciones. Los sistemas de ecuaciones se dividen en dos categorías: sistemas consistentes y sistemas inconsistentes. Un sistema de ecuaciones consistente tiene al menos una solución. Un sistema inconsistente no tiene soluciones. De las tres posibilidades del conjunto de soluciones de un sistema, las dos primeras representan un sistema consistente porque en ambos casos el sistema tiene al menos una solución. La tercera posibilidad representa un sistema incoherente porque el sistema no tiene ninguna solución. Por ejemplo, consideremos nuestro ejemplo de la fiesta de inauguración. Hemos visto que el sistema tiene una solución. Por lo tanto, el sistema es un sistema consistente. También podemos ver esto en el gráfico de ese sistema. Si un sistema es consistente, tiene al menos una solución, por lo que se deduce que las gráficas de las ecuaciones del sistema se cruzan al menos una vez. Como la gráfica de nuestro sistema muestra un punto de intersección, sabemos que el sistema es consistente. Para entenderlo mejor, consideremos el siguiente ejemplo de sistema inconsistente: x^2 + y^2 = 1 y = x – 2 Observemos que la gráfica de este sistema no tiene puntos de intersección. Por lo tanto, se deduce que el sistema no tiene solución, y es un sistema inconsistente.
Cómo resolver sistemas lineales
Juan recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3% de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4% de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7% de interés anual. John invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Juan en cada tipo de fondo?
Entender el enfoque correcto para plantear problemas como éste hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos éste y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas similares a las empleadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar las soluciones de los sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un poco de gimnasia visual.
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, el objetivo principal es eliminar una variable cada vez para conseguir la sustitución por la espalda. Una solución a un sistema de tres ecuaciones en tres variables [latex]\left(x,y,z\right),\text{}[/latex] se llama un triple ordenado.
Tipos de sistemas de ecuaciones lineales
Un “sistema” de ecuaciones es un conjunto o colección de ecuaciones que se tratan todas juntas a la vez. Las ecuaciones lineales (las que se grafican como líneas rectas) son más simples que las ecuaciones no lineales, y el sistema lineal más simple es uno con dos ecuaciones y dos variables.
Recuerda cuando aprendiste por primera vez sobre las ecuaciones lineales de dos variables, a menudo expresadas en la forma “y = mx + b”. Por ejemplo, considera la ecuación lineal y = 3x – 5. Una “solución” de esta ecuación era cualquier punto (x, y) que “funcionara” en la ecuación.
Por supuesto, en términos prácticos, no se encuentran soluciones a una ecuación eligiendo puntos al azar, introduciéndolos y comprobando si “funcionan” en la ecuación. En lugar de eso, elegiste valores x y luego calculaste los valores y correspondientes. Y has utilizado este mismo procedimiento para representar gráficamente la ecuación. Esto señala un hecho importante: cada punto de la gráfica era una solución de la ecuación, y cualquier solución de la ecuación era un punto de la gráfica.
Una solución para una sola ecuación es cualquier punto que se encuentra en la recta de esa ecuación. Una solución para un sistema de ecuaciones es cualquier punto que se encuentra en cada línea del sistema. Por ejemplo, el punto rojo de la gráfica de abajo no es una solución del sistema, porque no está en ninguna de las dos rectas:
Sistema de ecuaciones lineales
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Observe que las operaciones anteriores que hemos elegido nos han llevado a la forma de escalón de fila. A continuación, el resto de las operaciones necesarias para lograrlo. Léalas con atención y asegúrese de que entiende cómo y por qué se ha realizado cada operación.
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