De polar a cartesiano
Consideremos la trayectoria que sigue una luna al orbitar un planeta, que gira simultáneamente alrededor del sol, como se ve en la figura \N(\PageIndex{1}\N). En todo momento, la luna se encuentra en un punto determinado respecto al planeta. ¿Pero cómo escribimos y resolvemos la ecuación para la posición de la luna cuando la distancia al planeta, la velocidad de la órbita de la luna alrededor del planeta y la velocidad de rotación alrededor del sol son todas desconocidas? Sólo podemos resolver una variable a la vez.
En esta sección, consideraremos conjuntos de ecuaciones dadas por \(x(t)\N y \(y(t)\N donde \N(t\N) es la variable independiente del tiempo. Podemos utilizar estas ecuaciones paramétricas en una serie de aplicaciones cuando buscamos no sólo una posición concreta sino también la dirección del movimiento. A medida que trazamos valores sucesivos de \(t\), la orientación de la curva se hace evidente. Esta es una de las principales ventajas de utilizar ecuaciones paramétricas: podemos trazar el movimiento de un objeto a lo largo de una trayectoria en función del tiempo. Comenzamos esta sección con un vistazo a los componentes básicos de las ecuaciones paramétricas y a lo que significa parametrizar una curva. Luego aprenderemos a eliminar el parámetro, a traducir las ecuaciones de una curva definida paramétricamente en ecuaciones rectangulares y a encontrar las ecuaciones paramétricas de las curvas definidas por ecuaciones rectangulares.
Trazador paramétrico
La curva no puede expresarse como la gráfica de una función \(y=f(x)\) porque hay puntos \(x\) asociados a múltiples valores de \(y\), es decir, la curva no pasa la prueba de la línea vertical. Aun así, nos puede interesar describir los puntos \((x,y)\Nde la curva. Por ejemplo, si la curva es la trayectoria de una partícula que se mueve en un plano, entonces la posición \((x,y)\) de la partícula es una función del tiempo \(t\):
Este es un ejemplo de un conjunto de ecuaciones paramétricas y la variable \(t\) se llama el parámetro de la parametrización. En algunos ejemplos, el parámetro podría ser en cambio una variable angular \(\theta\):
El punto principal es que los puntos \((x,y)\Npueden expresarse o depender de un tercer parámetro. Las ecuaciones paramétricas también vienen con un dominio para el parámetro, normalmente denotamos el dominio con \(I=[a,b]\), y puede ser infinito \(I=[a,\infty)\), o \(I=(-\infty, \infty)\), etc.
Partidice el intervalo \(I=[-3,3]\) en \(t_0=-3, t_1=-2, t_2=-1, \ldots, t_7=3\) y evalúa \((x(t_i), y(t_i))\Ny traza los puntos. La curva resultante es la siguiente. La orientación es en el sentido de las agujas del reloj.
Cómo encontrar la ecuación cartesiana de un plano dados 3 puntos
En este artículo aprenderemos a encontrar la primera derivada de una curva definida por ecuaciones paramétricas y a encontrar las ecuaciones de las tangentes y normales a las curvas.Las ecuaciones paramétricas son una forma de expresar las variables de nuestra ecuación en términos de un parámetro. Por ejemplo, si tenemos una ecuación cartesiana de la forma =(), podríamos expresar y en términos de un parámetro, :
=Estas ecuaciones paramétricas describirán exactamente la misma curva que =(), sólo que en una forma diferente.Nota:Las ecuaciones paramétricas se pueden utilizar junto con cualquier sistema de coordenadas, no sólo el cartesiano. Por ejemplo, si quisiéramos parametrizar unas coordenadas polares, expresaríamos y en términos de un parámetro.Escribir ecuaciones en forma paramétrica tiene muchos usos diferentes. Puede facilitar la escritura de relaciones de uno a muchos, por ejemplo, ecuaciones de elipses, cardioides y limacones, que normalmente pueden ser más difíciles de escribir en forma cartesiana.Hay un método que podemos utilizar para encontrar la derivada de una ecuación en forma paramétrica sin tener que convertir las ecuaciones paramétricas de nuevo a la forma cartesiana. La fórmula que podemos utilizar es la siguiente.Definición: Derivada de una ecuación paramétricaSerán y funciones diferenciables tales que podemos formar un par de ecuaciones paramétricas usando y :
Ecuación paramétrica del gradiente
Este tipo de ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas. Las ecuaciones paramétricas tienen varias ventajas sobre las ecuaciones cartesianas. Podemos ilustrar estas ventajas con el siguiente ejemplo. Este es un ejemplo de una ecuación cartesiana y una ecuación paramétrica similar,
Ambas tienen la misma forma, pero tienen diferentes indicadores de flechas. En la gráfica de la ecuación cartesiana, las flechas indican que la gráfica continúa de la forma establecida. En la ecuación paramétrica, las flechas indican la dirección en la que se movería un objeto a lo largo de la trayectoria a medida que aumenta el parámetro. Esto nos lleva a nuestra primera ventaja de las ecuaciones paramétricas y es que no sólo pueden mostrar la trayectoria de un objeto, sino que pueden indicar dónde estará el objeto en un momento dado. Esto lleva a la capacidad de calcular la velocidad y la aceleración también. La gráfica de la ecuación cartesiana no puede hacer eso.