Factorización de polinomios de grado superior
Aprende a resolver una ecuación polinómica de grado superior usando un patrón cuadrático.Ejemplo #1Factor x4 – 23×2 – 50 usando un patrón cuadráticoPaso 1Escribe x4 – 23×2 – 50 en el patrón de una expresión cuadrática para que puedas factorizarla como una haciendo una sustitución temporal de variables. Deja que y = x2 y sustituye y por x2x4 – 23×2 – 50 = (x2)2 – 23(x2) – 50×4 – 23×2 – 50 = (y)2 – 23(y) – 50Paso 2Factoriza y2 – 23y – 50y2 – 23y – 50 = (y + ___ )(y + ___ )Para completar el espacio en blanco anterior, busca factores de -50 que sumen -23.-25 × 2 = -50 y -25 + 2 = -23. Completa el espacio en blanco de la expresión anterior con -25 y 2. y2 – 23y – 50 = (y – 25)(y + 2)Paso 3Sustituye de nuevo a la variable original(y – 25)(y + 2) = (x2 – 25)(x2 + 2)Factoriza por completo(y – 25)(y + 2) = (x2 – 25)(x2 + 2) = (x – 5)(x + 5)(x2 + 2)Paso 4Establece la expresión (x – 5)(x + 5)(x2 + 2) igual a cero. (x – 5)(x + 5)(x2 + 2) = 0Resuelve las siguientes 3 ecuaciones(x – 5) = 0, (x + 5) = 0 y (x2 + 2) = 0x – 5 = 0x – 5 + 5 = 0 + 5x = 5x + 5 = 0x + 5 – 5 = 0 – 5x = -5×2 + 2 = 0x2 + 2 – 2 = 0 – 2×2 = -2×2 = 2(-1)x2 = 2i2 (ya que i2 = -1)x = ±√(2i2)x = ±i√(2)Las soluciones son 5, -5, √(2), y -√(2)
Hoja de trabajo de ecuaciones de grado superior
La factorización también puede aplicarse a polinomios de mayor grado, aunque el proceso de factorización suele ser un poco más laborioso. Recordemos que un polinomio de grado n tiene n ceros, algunos de los cuales pueden ser iguales (degenerados) o pueden ser complejos. Consideremos el polinomio simple f(x) = x3; este polinomio se puede factorizar como sigue.
Como podemos ver en esta expresión, hay tres ceros, todos ellos en x = 0. Ahora, vamos a invertir un poco nuestra visión de la factorización para ilustrar el principio. Digamos que tenemos un polinomio de tercer grado p(x) definido a continuación.
Obsérvese que empezamos con la forma factorizada, que obviamente tiene tres ceros (uno en x = 1, otro en x = 2 y otro en x = 3), y luego utilizamos la distributividad de la multiplicación para encontrar la expresión del polinomio. Veamos la gráfica de esta función para confirmar la ubicación de los ceros.
Como podemos ver en la gráfica, la función cruza el eje x en x = 1, x = 2 y x = 3. Esto confirma nuestra suposición de que la forma factorizada dilucida los ceros de la función. Como resultado, podemos construir un polinomio de grado n si conocemos todos los n ceros. Dicho de otro modo, los n ceros de un polinomio de grado n determinan completamente esa función. Este mismo principio se aplica a los polinomios de grado cuatro o superior.
Raíces de polinomios de grado superior
En cursos anteriores, has tenido bastante experiencia trabajando con ecuaciones polinómicas de grado 1 (lineales) y de grado 2 (cuadráticas). Por desgracia, cuando el grado de una ecuación polinómica aumenta, la ecuación se vuelve más difícil de resolver. Encontrar las raíces de una ecuación como x5 + x4 – 5×3 – x2 + 8x – 4 = 0 puede ser una tarea difícil. En este curso, sólo tocaremos la superficie de las técnicas para resolver ecuaciones polinómicas de grado superior. Nuestro énfasis estará en utilizar lo que ya sabemos para ayudarnos a resolver nuevas situaciones.
Resolución de ecuaciones cuadráticas con potencias superiores
En la sección anterior hemos explorado el comportamiento a corto plazo de los cuadráticos, un caso especial de los polinomios. En esta sección exploraremos el comportamiento de los polinomios en general. Los componentes básicos de los polinomios son las funciones de potencia.
A la derecha se muestran las gráficas de , y , todas ellas potencias de números enteros pares. Observa que todas estas gráficas tienen una forma bastante similar, muy parecida a la de una cuadrática, pero a medida que la potencia aumenta las gráficas se aplanan un poco cerca del origen, y se vuelven más empinadas lejos del origen.
Para describir el comportamiento a medida que los números se hacen más y más grandes, utilizamos la idea de infinito. El símbolo para el infinito positivo es , y para el infinito negativo. Cuando decimos que “x se acerca al infinito”, que se puede escribir simbólicamente como , estamos describiendo un comportamiento – estamos diciendo que se está haciendo grande en la dirección positiva.
Con la función de potencia par, a medida que la entrada se hace grande en la dirección positiva o negativa, los valores de salida se convierten en números positivos muy grandes. Equivalentemente, podríamos describir esto diciendo que a medida que se acerca al infinito positivo o negativo, los valores se acercan al infinito positivo. En forma simbólica, podríamos escribir: como , .