Problemas de parábola de geometría analítica con soluciones pdf
¿Sabías que la antorcha olímpica se enciende varios meses antes del comienzo de los juegos? El método ceremonial para encender la llama es el mismo que en la antigüedad. La ceremonia tiene lugar en el Templo de Hera en Olimpia, Grecia, y tiene sus raíces en la mitología griega, rindiendo homenaje a Prometeo, que robó el fuego a Zeus para dárselo a todos los humanos. Una de las once sacerdotisas que actúan coloca la antorcha en el foco de un espejo parabólico (ver (Figura)), que enfoca los rayos de luz del sol para encender la llama.
Los espejos parabólicos (o reflectores) son capaces de captar la energía y concentrarla en un solo punto. Las ventajas de esta propiedad quedan patentes en la amplia lista de objetos parabólicos que utilizamos a diario: antenas parabólicas, puentes colgantes, telescopios, micrófonos, focos y faros de coches, por citar algunos. Los reflectores parabólicos también se utilizan en dispositivos de energía alternativa, como las cocinas solares y los calentadores de agua, porque son baratos de fabricar y necesitan poco mantenimiento. En esta sección exploraremos la parábola y sus usos, incluidos los diseños solares de bajo coste y eficiencia energética.
Ecuación estándar de la parábola
La distancia a la directriz, literalmente, acaba de caer una perpendicular, supongo que se podría decir, es decir, que va a ser la distancia más corta a esa línea, pero la distancia al foco, bueno vemos que está en un poco de un ángulo, y podríamos tener que utilizar
ser nuestro cambio en y. Va a ser este y, menos k. Es sólo esta distancia. Así que va a ser y menos k. Ahora tenemos que tener cuidado. La forma en que lo he dibujado, sí, y es mayor que k, por lo que esto va a dar
de un foco general, (a,b), y una directriz gerneral, y es igual a k, así que vamos a hacer eso. Así que la cosa más simple para empezar aquí, es sólo vamos a cuadrar ambos lados, por lo que deshacerse de los radicales. Así que si elevamos al cuadrado ambos lados,
k está en el lado derecho, por lo que la primera cosa que podría querer hacer, es expandir cada una de estas expresiones que implican con y, por lo que este azul en el lado izquierdo, que va a ser y al cuadrado menos 2yk, más k al cuadrado, y que va a ser igual a, voy a mantener esta primera igual, por lo que va a ser x menos a, al cuadrado, y ahora permítanme expandir, voy a encontrar un color, expandir esto en verde, por lo que más y al cuadrado, menos
Fórmula de la longitud focal de la parábola
En lo que sigue, utilizamos la notación \((x_1,y_1)\ para representar un punto en el sistema de coordenadas \((x,y)\), también llamado el plano \(x\)-(y\). Anteriormente, utilizamos \((a,b)\Npara representar un intervalo abierto. La notación a menudo se reutiliza y se abusa en matemáticas, pero afortunadamente, suele quedar claro por el contexto lo que queremos decir.
En el sistema de coordenadas \((x,y)\Nnormalmente escribimos el eje \Nhorizontal, con números positivos a la derecha del origen, y el eje \Nvertical, con números positivos por encima del origen. Es decir, a menos que se indique lo contrario, tomamos como “hacia la derecha” la dirección positiva de las x y como “hacia arriba” la dirección positiva de las y. En una situación puramente matemática, normalmente elegimos la misma escala para los ejes \(x\)- y \(y\)-. Por ejemplo, la recta que une el origen con el punto \((a,a)\\Nhace un ángulo de 45\({}^\circ\) con el eje \(x\)-(y también con el eje \(y)-).
Supongamos que dejamos caer una moneda desde una ventana y queremos estudiar cómo cambia su altura sobre el suelo de un segundo a otro. Es natural dejar que la letra \(t\) denote el tiempo (el número de segundos desde que se soltó el objeto) y que la letra \(h\) denote la altura. Para cada \(t\) (digamos, a intervalos de un segundo) se tiene una altura correspondiente \(h\text{.}\} Esta información puede ser tabulada, y luego trazada en el plano de coordenadas \((t,h)\\Nde la figura siguiente.
Derivación de la ecuación de la parábola
La parábola se define como el conjunto de puntos que están a la misma distancia del foco y de la recta directriz. Por tanto, el vértice estará exactamente a mitad de camino entre el foco y la directriz. El segmento de la línea paralela a la directriz, que está dentro de la parábola, se llama latus rectum. En consecuencia, el tamaño de la mitad del latus rectum es exactamente el mismo que la distancia desde su punto de sección en la parábola hasta la directriz. O, dicho de otro modo, la cuarta parte del tamaño del latus rectum es la distancia de ese mismo punto a la tangente en el vértice.