Plano C de 3 puntos
La ecuación de un plano representa una superficie plana, en un espacio tridimensional. La ecuación de un plano puede derivarse mediante cuatro métodos diferentes, basados en los valores de entrada dados. La ecuación del plano puede expresarse en forma cartesiana o vectorial.
Consideremos una normal \N(\overrightarrow ON \) al plano. La normal es una recta perpendicular trazada desde el origen O a un punto N del plano, tal que \(\overrightarrow ON \) es perpendicular al plano. Sea la longitud de la normal \(\overrightarrow ON\) d unidades, tal que \(\overrightarrow ON = d \hat n\). Además, consideraremos un punto P en el plano, que tiene un vector de posición de \(\overrightarrow r\). Ahora tenemos \(\overrightarrow NP = \overrightarrow r – d. \hat n\). También \(\overrightarrow NP\) y \(\overrightarrow ON\) son perpendiculares entre sí, y el producto punto de estas dos rectas perpendiculares es igual a 0. Finalmente, tenemos la siguiente expresión para el producto punto de estas dos rectas
Consideremos un punto A en el plano con un vector de posición \(\ sobre flecha a\), y un vector \(\ sobre flecha N\), que es perpendicular a este plano. Consideremos otro punto P en el plano que tiene un vector de posición \(\overrightarrow r \). La recta \(\overrightarrow AP \) se encuentra en este plano referido y es perpendicular a la normal \(\overrightarrow N\). Aquí tenemos el producto punto de estas dos rectas igual a cero. \(\ sobre flecha AP.\Nsobre flecha N = 0\N). Resolviendo esto además tenemos la siguiente expresión.
Plano Python a partir de 3 puntos
Se presenta una hoja de trabajo interactiva que incluye una calculadora y un solucionador para encontrar la ecuación de un plano a partir de tres puntos. Se pueden generar de forma interactiva tantos ejemplos como sean necesarios, junto con sus soluciones y explicaciones.
A partir de la definición del producto cruzado, \( \vec {n} \) es perpendicular a ambos vectores \( \vec {PR} \) y \( \vec {PQ} \) y, por tanto, al plano que contiene los tres puntos P, Q y R. Cualquier punto \( M(x,y,z) \) está en el plano si el producto punto de \( \vec n = \lt x_n,y_n,z_n \gt \) y los vectores \( \vec {PM} = \lt x – x_p , y – y_p , z – z_p \gt \) es igual a cero.
Vector normal de un plano
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En la primera sección de este capítulo vimos un par de ecuaciones de planos. Sin embargo, ninguna de esas ecuaciones tenía tres variables en ellas y eran realmente extensiones de gráficas que podíamos ver en dos dimensiones. Nos gustaría tener una ecuación más general para los planos.
Por lo tanto, vamos a empezar por suponer que sabemos un punto que está en el plano, \ ({P_0} = \left( {{x_0},{y_0},{z_0} \right)\). Supongamos también que tenemos un vector que es ortogonal (perpendicular) al plano, \(\vec n = \left\langle {a,b,c} \right\rangle \). Este vector se llama vector normal. Ahora, supongamos que \N(P = \left( {x,y,z} \right)\Nes un punto cualquiera del plano. Por último, ya que vamos a estar trabajando con los vectores inicialmente vamos a dejar que \ ~(\overrightarrow {{r_0}}) y \ ~(\vec r\) son los vectores de posición para P0
Plano de los puntos
La ecuación del plano representa una superficie plana en un espacio tridimensional. La ecuación de un plano puede derivarse a través de cuatro métodos diferentes, basados en los valores de entrada dados. La ecuación del plano puede expresarse en forma cartesiana o vectorial.
Consideremos una normal \N(\overrightarrow ON \) al plano. La normal es una recta perpendicular trazada desde el origen O a un punto N del plano, tal que \(\overrightarrow ON \) es perpendicular al plano. Sea la longitud de la normal \(\overrightarrow ON\) d unidades, tal que \(\overrightarrow ON = d \hat n\). Además, consideraremos un punto P en el plano, que tiene un vector de posición de \(\overrightarrow r\). Ahora tenemos \(\overrightarrow NP = \overrightarrow r – d. \hat n\). También \(\overrightarrow NP\) y \(\overrightarrow ON\) son perpendiculares entre sí, y el producto punto de estas dos rectas perpendiculares es igual a 0. Finalmente, tenemos la siguiente expresión para el producto punto de estas dos rectas
Consideremos un punto A en el plano con un vector de posición \(\ sobre flecha a\), y un vector \(\ sobre flecha N\), que es perpendicular a este plano. Consideremos otro punto P en el plano que tiene un vector de posición \(\overrightarrow r \). La recta \(\overrightarrow AP \) se encuentra en este plano referido y es perpendicular a la normal \(\overrightarrow N\). Aquí tenemos el producto punto de estas dos rectas igual a cero. \(\ sobre flecha AP.\Nsobre flecha N = 0\N). Resolviendo esto además tenemos la siguiente expresión.