Fórmula de la parábola
Una parábola es el conjunto de todos los puntos \( M(x,y)\Nde un plano tales que la distancia de \( M \) a un punto fijo \( F \N) llamado foco es igual a la distancia de \( M \Na una recta fija llamada directriz como se muestra en la gráfica.
1 – Inicie con los valores por defecto \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \) el botón “Plot Equation”. Pase el cursor del mousse por encima de la gráfica para trazar y leer las coordenadas de los puntos de la gráfica, en el foco F o en el vértice V.
a) Utilice los valores de \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \) y calcule las coordenadas del foco \( F \), del vértice \( V \) y la ecuación de la directriz y compárelos con los valores de la gráfica.
b) Selecciona un punto \( M \) de la parábola y halla la distancia \( MF \) y compárala con la distancia de \( M \) a la directriz.(ver definición de parábola más arriba). ¿Son iguales?(o cercanas)
c) Establece los valores \( p = 4, h = 1 \) y \( k = – 4 \) en la aplicación anterior y luego lee y comprueba la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco \( F \) y del vértice \( V \) y la ecuación de la directriz.
Ecuación general de la parábola con vértice (h k)
Una parábola es el conjunto de puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto dado y de una recta dada en ese plano. El punto dado se llama foco y la recta se llama directriz. El punto medio del segmento perpendicular del foco a la directriz se llama vértice de la parábola. La recta que pasa por el vértice y el foco se llama eje de simetría (ver Figura 1.)
En la forma 1, la parábola se abre verticalmente. (Se abre en la dirección “y”.) Si a > 0, se abre hacia arriba. Consulte la figura 1(a). Si a < 0, se abre hacia abajo. La distancia del vértice al foco y del vértice a la recta directriz es la misma. Esta distancia es
Explicación de la parábola
Foco y directriz de una parábolaUna parábola es una sección cónica que se genera por la intersección de la superficie de un plano con un cono. Una parábola es una curva plana que se forma cuando un punto se mueve de forma que la distancia entre él y un punto fijo es igual a la distancia entre él y una recta fija en el plano cartesiano. El punto fijo es el foco de la parábola, y la recta fija es la directriz de la parábola. Una parábola es el lugar de un punto variable que se mueve de forma que su distancia a un punto fijo es igual a su distancia a una recta fija. El punto de intersección de la parábola con su eje se llama vértice de la parábola. El eje de simetría de la parábola es la recta que divide la parábola en dos mitades iguales, y pasa por el foco y es perpendicular a la directriz de la parábola.
¿Cuál es la ecuación de una parábola? En forma estándar, la ecuación de una parábola es {eq}y=ax^2+bx+c {/eq}, donde {eq}a, b {/eq}, y {eq}c {/eq} son números reales con {eq}a \neq 0 {/eq}. Si {eq}a>0 {/eq}, entonces la curva parabólica se abre hacia arriba. Si {eq}a<0 {/eq}, entonces la curva parabólica se abre hacia abajo. En función del eje y la orientación, existen cuatro ecuaciones estándar de una parábola. Las ecuaciones generales de una parábola en su forma estándar son {eq}y^{2}=4ax {/eq}, {eq}y^{2}=-4ax {/eq}, {eq}x^{2}=4ay {/eq}, y {eq}x^{2}=-4ay {/eq}.
Parábola asimétrica
Al igual que otras gráficas con las que hemos trabajado, la gráfica de una parábola se puede trasladar. Si una parábola se traslada [latex]h[/latex] unidades horizontalmente y [latex]k[/latex] unidades verticalmente, el vértice será [latex]\left(h,k\right)[/latex]. Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente con [latex]x[/latex] sustituida por [latex]\left(x-h\right)[/latex] y [latex]y[/latex] sustituida por [latex]\left(y-k\right)[/latex].
Para graficar parábolas con un vértice [latex]\left(h,k\right)[/latex] distinto del origen, utilizamos la forma estándar [latex]{\left(y-k\right)}^{2}=4p\left(x-h\right)[/latex] para parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje x, y [latex]{\left(x-h\right)}^{2}=4p\left(y-k\right)[/latex] para parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje y. Estas formas estándar se dan a continuación, junto con sus gráficas generales y características clave.
(a) Cuando [latex]p>0[/latex], la parábola se abre hacia la derecha. (b) Cuando [latex]p<0[/latex], la parábola se abre hacia la izquierda. (c) Cuando [latex]p>0[/latex], la parábola se abre hacia arriba. (d) Cuando [latex]p<0[/latex], la parábola se abre hacia abajo.