Ecuación general de una calculadora de planos
Formas (cartesianas o normales) de la ecuación de un plano dado el vector normal y un punto en él.Consideremos primero la ecuación de una recta en forma cartesiana y reescribámosla en forma vectorial en dos dimensiones,
Un vector normal ⃑-⃑ a una recta o a un plano es un vector que es perpendicular a la recta o al plano. En otras palabras, el vector normal es perpendicular a cualquier vector ⃑ que sea paralelo a la
++-(++)=0.Esto se puede reordenar para dar la ecuación del plano en forma escalar.Definición: Forma escalar de la ecuación de un planoLa forma escalar de la ecuación de un plano en ℝ que contiene los vectores puntuales
Ejemplo 2. Hallar la ecuación general de un plano Hallar la ecuación general de un plano que pasa por un punto dado y es paralelo a dos vectores dadosHallar la ecuación general del plano que pasa por el punto (5,1,-1) y es paralelo
a los dos vectores (9,7,-8) y (-2,2,-1).RespuestaEn este ejemplo, queremos determinar la ecuación del plano que pasa por un punto y es paralelo a dos vectores dados.Recordemos que la forma escalar de la ecuación de un plano con un vector normal ⃑=(,,) que contiene el punto (,,) es
Plano de los puntos
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En la primera sección de este capítulo vimos un par de ecuaciones de planos. Sin embargo, ninguna de esas ecuaciones tenía tres variables en ellas y eran realmente extensiones de gráficas que podíamos ver en dos dimensiones. Nos gustaría tener una ecuación más general para los planos.
Por lo tanto, vamos a empezar por suponer que sabemos un punto que está en el plano, \ ({P_0} = \left( {{x_0},{y_0},{z_0} \right)\). Supongamos también que tenemos un vector que es ortogonal (perpendicular) al plano, \(\vec n = \left\langle {a,b,c} \right\rangle \). Este vector se llama vector normal. Ahora, supongamos que \N(P = \left( {x,y,z} \right)\Nes un punto cualquiera del plano. Por último, ya que vamos a estar trabajando con los vectores inicialmente vamos a dejar que \ ~(\overrightarrow {{r_0}}) y \ ~(\vec r\) son los vectores de posición para P0
Vector normal de un plano
En matemáticas, un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende indefinidamente[1] Un plano es el análogo bidimensional de un punto (cero dimensiones), una línea (una dimensión) y el espacio tridimensional. Los planos pueden surgir como subespacios de algún espacio de mayor dimensión, como ocurre con una de las paredes de una habitación, que se extiende infinitamente, o pueden disfrutar de una existencia independiente por derecho propio, como ocurre en el entorno de la geometría euclidiana bidimensional[2].
Cuando se trabaja exclusivamente en el espacio euclidiano bidimensional, se utiliza el artículo definido, por lo que el plano se refiere a todo el espacio. Muchas de las tareas fundamentales de las matemáticas, la geometría, la trigonometría, la teoría de grafos y los gráficos se realizan en un espacio bidimensional, a menudo en el plano.
Euclides estableció el primer gran hito del pensamiento matemático, un tratamiento axiomático de la geometría[3]. Seleccionó un pequeño núcleo de términos indefinidos (llamados nociones comunes) y postulados (o axiomas) que luego utilizó para demostrar diversas afirmaciones geométricas. Aunque el plano, en su sentido moderno, no se define directamente en ninguna parte de los Elementos, puede considerarse como parte de las nociones comunes[4] Euclides nunca utilizó números para medir longitudes, ángulos o áreas. El plano euclidiano equipado con un sistema de coordenadas cartesianas elegido se llama plano cartesiano; un plano euclidiano no cartesiano equipado con un sistema de coordenadas polares se llamaría plano polar.
Ecuación cartesiana de un plano
Supongamos que empezamos con un vector no nulo \(\vec n=(a,b,c)\text{.}\} A continuación, consideramos el plano (a través de \(\vec0\)) que es perpendicular a \(\vec n\text{.}\) La imagen siguiente ilustra la situación. Cualquier punto \((x,y,z)\Nde este plano debe ser perpendicular a \(\vec n\text{.}\} Esto significa que \((x,y,z)\cdot\vec n= ax+by+cz=0text{.}\}
Figura 5.6.1. Además, la inversa es cierta, es decir, si tenemos números \(a\text{,}\} \(b\) y \(c\text{,}\} no todos cero, entonces el conjunto de todos los puntos \((x,y,z)\) que satisfacen \(ax+by+cz=0\) debe ser perpendicular a \(\vec n=(a,b,c)\) y por lo tanto es un plano que pasa por \(\vec0\text{. En este caso \(\vec n\) se llama el vector normal al plano.
entonces cualquier vector \((x,y,z)\Nque satisfaga la primera ecuación satisface claramente la segunda. Más generalmente, si \(ax+by+cz+d=0\text{,}\) entonces para cualquier número real \(r\not=0\) tenemos \(r(ax+by+cz+d)=0\) y por tanto \((ra)x+(rb)y+(rc)z+rd=0\text{,}\) Si dejamos que \(a’=ra\texto{,}) \(b’=rb\texto{,}) \(c’=rc\) y \(d’=rd\texto{,}) entonces