Cómo encontrar la línea tangente
Tres pasos para encontrar la ecuación de la recta tangente usando la diferenciación implícitaUsar la diferenciación implícita para encontrar la ecuación de la recta tangente es sólo ligeramente diferente a encontrar la ecuación de la recta tangente usando la diferenciación normal. Recuerda que seguimos estos pasos para encontrar la ecuación de la recta tangente utilizando la diferenciación normal:
Este resultado es la ecuación de la recta tangente a la función dada en el punto dado. Cuando tenemos una función que no está definida explícitamente para ??y??, y encontrar la derivada requiere diferenciación implícita, seguimos los mismos pasos que acabamos de describir, excepto que usamos diferenciación implícita en lugar de diferenciación regular para tomar la derivada en el Paso 1.
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Encuentra todos los puntos donde la pendiente de la tangente es 0 para la función dada
Entre todas las funciones, las funciones lineales son las más sencillas. Una de las poderosas consecuencias de que una función \(y = f (x)\Nsea diferenciable en un punto \((a, f (a))\Nes que, de cerca, la función\(y = f ( x )\Nes localmente lineal y se parece a su recta tangente en ese punto. En ciertas circunstancias, esto nos permite aproximar la función original \(f\) con una función más simple \(L\) que es lineal: esto puede ser ventajoso cuando tenemos información limitada sobre \(f\) o cuando \(f\) es computacional o algebraicamente complicado. En lo que sigue exploraremos todas estas situaciones.
Es esencial recordar que cuando f(f\) es diferenciable en \(x = a\), el valor de \(f ‘ (a)\) proporciona la pendiente de la recta tangente a \(y = f (x)\) en el punto \((a, f (a))\). Conociendo tanto un punto de la recta como la pendiente de la misma podemos encontrar la ecuación de la recta tangente. La Actividad Previa \(\PageIndex{1}\N) refrescará estos conceptos a través de un ejemplo clave y sentará las bases para el estudio posterior.
Ecuación de la línea normal
Explicación: Empezamos recordando que una forma de definir la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente de la función en un punto determinado. Por tanto, encontrar la derivada de nuestra ecuación nos permitirá encontrar la pendiente de la recta tangente. Como las dos cosas necesarias para encontrar la ecuación de una recta son la pendiente y un punto, tendríamos la mitad del camino hecho.
Ahora, debemos darnos cuenta de que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto dado es equivalente a la derivada en el punto. Así que si definimos nuestra recta tangente como: , entonces esta m se define así:
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Fórmula punto-pendiente
Una recta tangente es una recta que toca una función en un solo punto. (La recta tangente representa la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto. La pendiente de la recta tangente en un punto de la función es igual a la derivada de la función en ese mismo punto.
Veamos qué ocurre a medida que los dos puntos utilizados para la recta secante se acercan entre sí. Dejemos que Dx represente la distancia entre los dos puntos a lo largo del eje x y determinemos el límite a medida que Dx se acerca a cero.