▷ Ecuacion vectorial de una recta en el espacio

Convertir un vector en una ecuación lineal

Ya estamos familiarizados con la escritura de ecuaciones que describen una recta en dos dimensiones. Para escribir una ecuación de una línea, debemos conocer dos puntos de la línea, o bien conocer la dirección de la línea y al menos un punto por el que pasa la línea. En dos dimensiones, utilizamos el concepto de pendiente para describir la orientación, o dirección, de una recta. En tres dimensiones, describimos la dirección de una recta mediante un vector paralelo a la misma. En esta sección examinaremos cómo utilizar las ecuaciones para describir líneas y planos en el espacio.

Exploremos primero lo que significa que dos vectores sean paralelos. Recordemos que los vectores paralelos deben tener direcciones iguales u opuestas. Si dos vectores no nulos, \( \vecs{u}\) y \( \vecs{v}\), son paralelos, afirmamos que debe haber un escalar, \( k\), tal que \( \vecs{u}=kvecs{v}\). Si \( \vecs{u}\) y \( \vecs{v}\) tienen la misma dirección, basta con elegir

Obsérvese que lo contrario también es válido. Si \( \vecs{u}=k \vecs{v}\) para algún escalar \( k\), entonces o bien \( \vecs{u}\) y \(\vecs{v}\) tienen la misma dirección \( (k>0)\N o direcciones opuestas \( (k<0)\N, por lo que \( \vecs{u}\N) y \\Nvecs{v}\Nson paralelos. Por lo tanto, dos vectores no nulos \( \vecs{u}\) y \(\vecs{v}\) son paralelos si y sólo si \( \vecs{u}=k\vecs{v}\) para algún escalar \( k\). Por convención, se considera que el vector cero \( \vecs{0}\) es paralelo a todos los vectores.

Ecuación de un plano

0,-, donde ≠0.Sea cual sea la forma de la ecuación, los dos datos clave que definen una recta son su vector de dirección y uno de sus puntos. Veamos cómo funciona el razonamiento en 2D antes de pasar a las tres dimensiones (3D).Si tenemos una recta de vector dirección ⃑=(1,)

las coordenadas del punto cuando =0.Este conjunto de tres ecuaciones se llama las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio. Como hay infinitos puntos que se encuentran en la recta y cualquier vector

+∞, no hay ninguna limitación), y todas ellas definen inequívocamente la misma recta.Definición: Ecuaciones paramétricas de una recta en el espacioLas ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio son un conjunto no único de tres ecuaciones de la forma

número real (el parámetro) que varía de -∞ a +∞.Veamos el primer ejemplo.Ejemplo 1: Hallar la ecuación paramétrica de una recta dado un punto y su vector de direcciónDar la ecuación paramétrica de la recta en el punto (2,-4,4),

=3+,=-5-,=9+5.Hallemos ahora las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos dados.Ejemplo 2: Hallar la ecuación paramétrica de una recta dados dos puntosEscribimos la ecuación de la recta que pasa por los puntos

Ecuación general del plano

En el cálculo monovariable aprendemos que una función diferenciable es localmente lineal. En otras palabras, si ampliamos la gráfica de una función diferenciable en un punto, la gráfica se parece a la línea tangente a la función en ese punto. Las funciones lineales desempeñan un papel importante en el cálculo monovariable, ya que son útiles para aproximar funciones diferenciables, para aproximar raíces de funciones (véase el método de Newton) y para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden (véase el método de Euler). En el cálculo multivariable, pronto estudiaremos curvas en el espacio; las curvas diferenciables resultan ser también localmente lineales. Además, al estudiar funciones de dos variables, veremos que dicha función es localmente lineal en un punto si la superficie definida por la función se parece a un plano (el plano tangente) al acercarnos a la gráfica.

Por lo tanto, es importante que entendamos tanto las rectas como los planos en el espacio, ya que éstos definen las funciones lineales en \N(\R^2) y \N(\R^3text{.}) (Recordemos que una función es lineal si es una función polinómica cuyos términos tienen todos grado menor o igual a 1. Por ejemplo, \(x\) define una función lineal de una variable y \(x+y\) una función lineal de dos variables, pero \(xy\) no es lineal ya que tiene grado dos, la suma de los grados de sus factores). Comenzamos nuestro trabajo considerando algunas ideas conocidas en \(\R^2\) pero desde una nueva perspectiva.