Hoja de trabajo de resolución de ecuaciones lineales en dos variables por sustitución
Este es el tercero de nuestra serie de artículos breves en los que se tratan temas importantes para los técnicos en electrónica y electromecánica y para los estudiantes de técnico que se preparan para el mercado laboral actual. En esta serie, discutiremos algunas habilidades y temas cotidianos para los técnicos en ejercicio, así como algunas áreas que han sido identificadas como “difíciles de entender” por nuestros estudiantes de técnico mientras realizan análisis de circuitos generales. Los temas de discusión incluirán técnicas de reducción de circuitos, respuestas transitorias, así como áreas de dificultad cuando se trabaja con teoremas de redes lineales de corriente continua.
Muchos técnicos encuentran dificultades para resolver ecuaciones de nodos o bucles que contienen múltiples cantidades desconocidas. En esta tercera entrega de la Serie de Técnicos en Práctica, revisaremos un medio para resolver tales ecuaciones para obtener las corrientes de bucle o los voltajes de nodo al realizar el análisis de la red de CC lineal. Los dos métodos de nivel técnico para resolver ecuaciones simultáneas con múltiples incógnitas que se utilizan cuando se trata de dos o tres ecuaciones son la “sustitución” y la “eliminación”. Para resolver un número determinado de incógnitas, requerimos que se proporcione el mismo número de ecuaciones. Por ejemplo, necesitaríamos dos ecuaciones para resolver dos incógnitas. Para resolver tres incógnitas se necesitan tres ecuaciones, y así sucesivamente.
Ejemplos del método de sustitución con respuestas
El método de resolución “por sustitución” funciona resolviendo una de las ecuaciones (tú eliges cuál) para una de las variables (tú eliges cuál), y luego la introduces de nuevo en la otra ecuación, “sustituyendo” la variable elegida y resolviendo la otra. Luego se vuelve a resolver para la primera variable.
Las instrucciones me dicen que debo resolver “por sustitución”. Esto significa que tengo que resolver una de las ecuaciones para una de las variables, e introducir el resultado en la otra ecuación en lugar de la variable que he resuelto. No importa qué ecuación o qué variable elija. No hay una elección correcta o incorrecta de la ecuación o la variable; la respuesta será la misma, independientemente. Pero – algunas opciones pueden ser mejores que otras.
Por ejemplo, en este caso, ¿te das cuenta de que probablemente lo más sencillo sería resolver la segunda ecuación por “y=”, puesto que ya hay una y flotando suelta en medio de esa ecuación? Podría resolver la primera ecuación para cualquiera de las dos variables, pero obtendría fracciones, y resolver la segunda ecuación para x también me daría fracciones. No estaría “mal” hacer una elección diferente, pero probablemente sería más difícil.
Cómo resolver ecuaciones lineales en dos variables por eliminación
Resolver sistemas de ecuaciones lineales por medio de gráficas es una buena manera de visualizar los tipos de soluciones que pueden resultar. Sin embargo, hay muchos casos en los que resolver un sistema por medio de una gráfica es inconveniente o impreciso. Si las gráficas se extienden más allá de la pequeña cuadrícula con x e y ambas entre -10 y 10, graficar las líneas puede ser engorroso. Y si las soluciones del sistema no son números enteros, puede ser difícil leer sus valores con precisión en una gráfica.
Después de encontrar el valor de una variable, sustituiremos ese valor en una de las ecuaciones originales y resolveremos la otra variable. Por último, comprobamos nuestra solución y nos aseguramos de que hace ciertas ambas ecuaciones.
Copiaremos aquí la estrategia de resolución de problemas que utilizamos en la sección Resolución de sistemas de ecuaciones mediante gráficos para resolver sistemas de ecuaciones. Ahora que sabemos cómo resolver sistemas por sustitución, eso es lo que haremos en el Paso 5.
Algunas personas encuentran más fácil plantear problemas de palabras con dos variables que con una sola. La elección de los nombres de las variables es más fácil cuando todo lo que hay que hacer es escribir dos letras. Piensa en el siguiente ejemplo: ¿cómo lo habrías hecho con una sola variable?
Método de sustitución
Normalmente, cuando se utiliza el método de sustitución, una ecuación y una de las variables conducen a una solución rápida más fácilmente que la otra. Esto se ilustra con la selección de x y la segunda ecuación en el siguiente ejemplo.
Si el método de sustitución produce una sentencia que siempre es verdadera, como 0 = 0, entonces el sistema es dependiente, y cualquiera de las ecuaciones originales es una solución. Si el método de sustitución produce una sentencia que siempre es falsa, como 0 = 5, entonces el sistema es inconsistente, y no hay solución.