Determinante de la matriz 2×2
En matemáticas, el determinante es un valor escalar que está en función de las entradas de una matriz cuadrada. Permite caracterizar algunas propiedades de la matriz y del mapa lineal representado por la matriz. En particular, el determinante es distinto de cero si y sólo si la matriz es invertible y el mapa lineal representado por la matriz es un isomorfismo. El determinante de un producto de matrices es el producto de sus determinantes (la propiedad anterior es un corolario de ésta).
Cada determinante de una matriz de 2 × 2 en esta ecuación se llama menor de la matriz A. Este procedimiento puede extenderse para dar una definición recursiva del determinante de una matriz n × n, conocida como expansión de Laplace.
Los determinantes aparecen en todas las matemáticas. Por ejemplo, una matriz se utiliza a menudo para representar los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, y los determinantes se pueden utilizar para resolver estas ecuaciones (regla de Cramer), aunque otros métodos de solución son computacionalmente mucho más eficientes. Los determinantes se utilizan para definir el polinomio característico de una matriz, cuyas raíces son los valores propios. En geometría, el volumen con signo de n dimensiones de un paralelepípedo de n dimensiones se expresa mediante un determinante. Se utiliza en cálculo con las formas diferenciales exteriores y el determinante jacobiano, en particular para los cambios de variables en integrales múltiples.
Wolfram alpha determinante 3×3
Recordemos que una matriz es una matriz rectangular de números formada por filas y columnas. Clasificamos las matrices por el número de filas n y el número de columnas m. Por ejemplo, una matriz 3×4, léase “matriz de 3 por 4”, es aquella que consta de 3 filas y 4 columnas. Una matriz cuadradaUna matriz con el mismo número de filas y columnas. es una matriz en la que el número de filas es el mismo que el número de columnas. En esta sección describimos otro método para resolver sistemas lineales utilizando propiedades especiales de las matrices cuadradas. Comenzamos considerando la siguiente matriz A de 2×2 coeficientes,
Podemos resolver sistemas lineales con dos variables utilizando determinantes. Comenzamos con un sistema lineal general de 2×2 y resolvemos para y. Para eliminar la variable x, multiplicamos la primera ecuación por -a2 y la segunda ecuación por a1.
Tanto el numerador como el denominador se parecen mucho al determinante de una matriz de 2×2. De hecho, este es el caso. El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes. Y el numerador es el determinante de la matriz formada al sustituir la columna que representa los coeficientes de y por la correspondiente columna de constantes. Esta matriz especial se denomina Dy.
Inversa de la matriz 3×3
Como hemos visto en lecciones anteriores, para definir qué es un determinante de una matriz tenemos que volver a nuestra definición de matriz. Recuerda que hemos aprendido que una matriz es una lista ordenada de números colocados en un soporte rectangular. Esta lista también puede llamarse matriz rectangular, y proporciona una forma ordenada de mostrar una “lista” de elementos de información. Si quieres repasar la definición de matriz con más detalle puedes volver a nuestra lección sobre notación de matrices.
Una matriz describe una transformación lineal o mapa lineal, que es una especie de transcripción entre dos tipos de estructuras algebraicas, como los campos vectoriales. De este modo, podemos resolver sistemas de ecuaciones lineales representando un sistema lineal como una matriz. La representación matricial de un sistema lineal se realiza utilizando todos los coeficientes de las variables que se encuentran en el sistema, y se utilizan como entradas de elementos para construir la matriz rectangular de un tamaño adecuado de matriz aumentada. En dicha matriz, los resultados de cada ecuación del sistema se colocarán a la derecha de la línea vertical que representa el signo de igualdad.
Matriz determinante 3×3
Si tenemos n ecuaciones con n incógnitas entonces podemos resolver estas ecuaciones, siempre que estas ecuaciones sean todas independientes, si no lo son, entonces una ecuación se deriva de otra y por lo tanto no proporciona ninguna información adicional.
Los determinantes están quizás más asociados a las matrices, pero tienen una interpretación geométrica que es completamente independiente de las matrices (esta interpretación geométrica se discute en esta página).
Tal vez obtuvimos una pista de esta interpretación geométrica cuando vimos las rotaciones, las rotaciones puras siempre tienen un determinante de uno. Esto está relacionado con la situación en la que tenemos un conjunto de vectores unitarios que son mutuamente ortogonales, el determinante de la matriz formada por estos vectores es uno.
La fórmula para calcular la inversa de la matriz [M] implica la multiplicación por el factor escalar 1/|M| por lo que si |M| =0 todas las componentes de la inversa serán infinitas indicando, en ese caso, que [M] no tiene inversa.
Podemos calcular un determinante n×n a partir de una matriz (n-1)×(n-1) y así sucesivamente hasta llegar al determinante de una matriz 1×1 que no es más que el propio término. Este método recursivo también se conoce como expansión por menores.