Ecuaciones exponenciales y logarítmicas academia khan
Una ecuación exponencialUna ecuación que incluye una variable como exponente. es una ecuación que incluye una variable como uno de sus exponentes. En esta sección describimos dos métodos para resolver ecuaciones exponenciales. En primer lugar, recordemos que las funciones exponenciales definidas por f(x)=bx, donde b>0 y b≠1, son uno a uno; cada valor del rango corresponde exactamente a un elemento del dominio. Por lo tanto, f(x)=f(y) implica x=y. Lo contrario es cierto porque f es una función. Esto nos lleva a la importantísima propiedad uno a uno de las funciones exponencialesDado b>0 y b≠1 tenemos bx=by si y sólo si x=y.:
Para resolver esto hacemos uso del hecho de que los logaritmos son funciones uno a uno. Dados x,y>0 la propiedad uno a uno de los logaritmosDado b>0 y b≠1 donde x,y>0 tenemos logb x=logb y si y sólo si x=y. se sigue:
Esta propiedad, así como las propiedades del logaritmo, nos permite resolver ecuaciones exponenciales. Por ejemplo, para resolver 3x=12 aplicamos el logaritmo común a ambos lados y luego utilizamos las propiedades del logaritmo para aislar la variable.
Solucionador de ecuaciones logarítmicas
La mayoría de las ecuaciones exponenciales no se resuelven limpiamente; no habrá forma de convertir las bases para que sean iguales, como la conversión de 4 y 8 en potencias de 2. Para resolver estas ecuaciones más complicadas, tendrás que usar logaritmos.
Tomar logaritmos nos permitirá aprovechar la regla del logaritmo que dice que las potencias dentro de un logaritmo se pueden desplazar por delante como multiplicadores. Al tomar el logaritmo de una exponencial, podemos mover la variable (que está en el exponente que ahora está dentro de un logaritmo) hacia adelante, como un multiplicador en el logaritmo. En otras palabras, la regla del logaritmo nos permitirá desplazar la variable hacia abajo, donde podamos tenerla a mano.
Si esta ecuación me hubiera pedido “Resolver 2x = 32”, entonces encontrar la solución habría sido fácil, porque podría haber convertido el 32 en 25, poner los exponentes iguales y resolver “x = 5”. Pero, a diferencia de 32, 30 no es una potencia de 2, así que no puedo establecer potencias iguales entre sí. Necesito algún otro método para llegar a la x, porque no puedo resolver la ecuación con la variable flotando por encima del 2; la necesito de nuevo en el suelo, donde debe estar, donde puedo llegar a ella. Y tendré que usar logaritmos para bajar esa variable.
Ecuaciones exponenciales
Para analizar la magnitud de los terremotos o comparar las magnitudes de dos terremotos diferentes, debemos ser capaces de convertir entre la forma logarítmica y la exponencial. Por ejemplo, supongamos que la cantidad de energía liberada por un terremoto es 500 veces mayor que la cantidad de energía liberada por otro. Queremos calcular la diferencia de magnitud. La ecuación que representa este problema es [latex]{10}^{x}=500[/latex] donde x representa la diferencia de magnitudes en la escala de Richter. ¿Cómo resolveríamos x?
Todavía no hemos aprendido un método para resolver ecuaciones exponenciales algebraicamente. Ninguna de las herramientas algebraicas discutidas hasta ahora es suficiente para resolver [latex]{10}^{x}=500[/latex]. Sabemos que [latex]{10}^{2}=100[/latex] y [latex]{10}^{3}=1000[/latex], por lo que está claro que x debe ser algún valor entre 2 y 3 ya que [latex]y={10}^{x}[/latex] es creciente. Podemos examinar una gráfica para estimar mejor la solución.
Sin embargo, la estimación a partir de una gráfica es imprecisa. Para encontrar una solución algebraica, debemos introducir una nueva función. Observa que la gráfica anterior pasa la prueba de la línea horizontal. La función exponencial [latex]y={b}^{x}[/latex] es uno a uno, por lo que su inversa, [latex]x={b}^{y}[/latex] también es una función. Como ocurre con todas las funciones inversas, simplemente intercambiamos x e y y resolvemos para y para encontrar la función inversa. Para representar y como una función de x, utilizamos una función logarítmica de la forma [latex]y={{mathrm{log}}_{b}[/latex]. El logaritmo de base b de un número es el exponente por el que debemos elevar b para obtener ese número.
Ecuaciones logarítmicas ejemplos y soluciones pdf
Esta unidad trata sobre las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas y la resolución de ecuaciones utilizando estas propiedades. Se utilizan funciones logarítmicas comunes para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. La fórmula de cambio de base se utiliza para evaluar ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Las aplicaciones de las funciones logarítmicas incluyen la escala de pH en química, la intensidad del sonido, la escala de Richter para los terremotos y la ley de enfriamiento de Newton.
El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar un valor fijo, llamado base, para producir ese número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3 , porque 1000 es 10 a la tercera potencia.
Observa el lado izquierdo de la gráfica logarítmica (azul). Observa que las coordenadas x de los puntos están muy cerca de cero, pero nunca son iguales a cero ni cruzan el eje y. En el lado derecho de la gráfica, las coordenadas x de los puntos crecen infinitamente.
Ejemplo #2: ¿Cómo se compara la gráfica de y = 3log4 (x) – 2, con la gráfica de la función madre y = log4 x? Indique el dominio, el rango e identifique la asíntota (la línea vertical a la que se aproxima la gráfica).