Regla del producto de diferenciación
Como hemos visto, la derivada de una función en un punto determinado nos da la tasa de cambio o pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Si diferenciamos una función de posición en un momento dado, obtenemos la velocidad en ese momento. Parece razonable concluir que conocer la derivada de la función en cada punto produciría información valiosa sobre el comportamiento de la función. Sin embargo, el proceso de encontrar la derivada incluso en un puñado de valores utilizando las técnicas de la sección anterior se volvería rápidamente bastante tedioso. En esta sección definimos la función derivada y aprendemos un proceso para encontrarla.
La función derivada da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada. Podemos definir formalmente una función derivada como sigue.
Se dice que una función \(f(x)\Nes diferenciable en \N(a\N) si \N(f'(a)\Nexiste. Más generalmente, se dice que una función es diferenciable en \(S\) si es diferenciable en cada punto de un conjunto abierto \(S\), y una función diferenciable es aquella en la que \(f'(x)\) existe en su dominio.
Derivada de x
Una derivada nos ayuda a conocer la relación cambiante entre dos variables. Consideremos la variable independiente ‘x’ y la variable dependiente ‘y’. El cambio en el valor de la variable dependiente con respecto al cambio en el valor de la expresión de la variable independiente se puede encontrar utilizando la fórmula de la derivada. Matemáticamente, la fórmula de la derivada es útil para encontrar la pendiente de una línea, para encontrar la pendiente de una curva, y para encontrar el cambio en una medida con respecto a otra medida. En esta sección, aprenderemos más sobre la fórmula de la derivada y resolveremos algunos ejemplos.
La fórmula de la derivada es uno de los conceptos básicos utilizados en el cálculo y el proceso de encontrar una derivada se conoce como diferenciación. La fórmula de la derivada se define para una variable ‘x’ que tiene un exponente ‘n’. El exponente “n” puede ser un número entero o una fracción racional. Por lo tanto, la fórmula para calcular la derivada es:
Sea f(x) una función cuyo dominio contiene un intervalo abierto alrededor de algún punto \(x_0\). Entonces se dice que la función f(x) es diferenciable en el punto \((x)_{0}\), y la derivada de f(x) en \((x)_{0}\) se representa mediante la fórmula
Derivada parcial
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René Carmona, François Delarue, Gilles-Edouard Espinosa, Nizar Touzi “Singular forward-backward stochastic differential equations and emissions derivatives”, The Annals of Applied Probability, Ann. Appl. Probab. 23(3), 1086-1128, (junio de 2013)
Matemáticas derivadas
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En la primera sección de este capítulo vimos la definición de la derivada y calculamos un par de derivadas usando la definición. Como vimos en esos ejemplos había una buena cantidad de trabajo involucrado en el cálculo de los límites y las funciones con las que trabajamos no eran terriblemente complicadas.
Para funciones más complejas utilizar la definición de la derivada sería una tarea casi imposible. Por suerte, no tendremos que utilizar la definición con mucha frecuencia. Tendremos que utilizarla en alguna ocasión, sin embargo tenemos una gran colección de fórmulas y propiedades que podemos utilizar para simplificarnos la vida considerablemente y que nos permitirán evitar el uso de la definición siempre que sea posible.