Ecuación de onda maxwell
El teorema de la divergencia relaciona una integral de superficie alrededor de una superficie cerrada con una integral triple. En otras palabras, iguala el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada a un volumen de la divergencia de ese mismo campo vectorial.
Ahora tenemos que pensar en cómo podemos reescribir el lado derecho de la ecuación en términos de una integral triple. Cuando pensamos en la carga total encerrada por una superficie gaussiana (Q encl), puedes darte cuenta de que esto es esencialmente lo mismo que integrar la densidad de carga volumétrica (rho) sobre el volumen delimitado por esa superficie gaussiana tal que:
Esto también se conoce a veces como la 1ª ecuación de Maxwell en “forma integral completa”. Como la constante eléctrica es exactamente eso (una constante), podemos sacarla fuera de la integral dejándonos con:
Ahora tenemos que idear una forma de representar el lado derecho de la ecuación como una integración sobre un área bidimensional. La corriente total (i) puede considerarse como la densidad de área de la corriente (J) integrada sobre un área. Además, por definición, el flujo eléctrico se define como
Derivación de las ecuaciones de Maxwell
Hay dos teoremas muy útiles para relacionar las formas diferencial e integral de las ecuaciones de Maxwell: El teorema de la divergencia de Gauss y el teorema de Stokes. El teorema de la divergencia de Gauss (2.1.20) establece que la integral de la componente normal de un campo analítico sobrelínea arbitrario \(\overline A \) sobre una superficie S que limita el volumen V es igual a la integral de volumen de \( \nabla \cdot \overline{mathrm{A}\) sobre V. El teorema puede derivarse rápidamente recordando (2.1.3):
donde \(\hat{n}\) es la sobrelínea normal unitaria para un cubo incremental de dimensiones Δx, Δy, Δz; da es su superficie diferencial; Sc es su superficie; y Δv es su volumen, como se sugiere en la figura 2.4.1(a).
Puesto que todas las contribuciones a \N(\Nsuma_i}de la izquierda{\Nde la línea{A} \Nde la línea{A}de la boleta{hat{n} d a_{i}\Nde la derecha) de las caras adyacentes del cubo se cancelan, las únicas contribuciones restantes del lado derecho de (2.4.5) provienen de la superficie exterior del volumen V. Procediendo al límite, obtenemos el teorema de la divergencia de Gauss:
Ecuaciones de Maxwell en el espaciotiempo curvo
La combinación dice que un campo magnético cambiante produce un campo eléctrico cambiante, y este campo eléctrico cambiante produce otro campo magnético cambiante. Así, el ciclo continúa y se produce una onda electromagnética que se propaga por el espacio.
Porque cualquier carga situada fuera de la superficie cerrada produce una cantidad igual de flujo hacia dentro (negativo) y hacia fuera (positivo), por lo que el flujo neto sólo está determinado por las cargas dentro de la superficie cerrada.
Esta parte fue añadida por Maxwell a la ecuación original de Ampere. Dice que un flujo eléctrico cambiante a través de una superficie debe inducir un campo magnético circulante alrededor de un límite de esa superficie.
El rizo de un campo vectorial es una función puntual y mide la cantidad del vector A que gira alrededor del punto en cuestión. El rizo de un campo vectorial es otro campo vectorial, como cualquier producto cruzado.
Los campos eléctricos basados en la carga divergen desde los puntos de carga positiva y convergen hacia los puntos de carga negativa. Este tipo de campos no circulan sobre sí mismos y sus rizos son nulos en cada punto.
Ecuación de Helmholtz maxwell
En el tratamiento habitual de los libros, es fácil demostrar que las formas diferencial e integral de las ecuaciones de Maxwell son equivalentes utilizando los teoremas de Gauss y Stokes. Siempre he pensado que ninguna de las dos versiones es más fundamental que la otra y que cada una tiene su lugar en la resolución de problemas. (Véase también ¿Qué forma de las ecuaciones de Maxwell es fundamental, la integral o la diferencial? )
Pero: Tengo un problema conceptual con la aplicación de las formas integrales de estas ecuaciones en los casos en los que hay dependencia del tiempo y el “tamaño” del bucle o área significa que hay un tiempo de viaje de la luz significativo a través de las regiones consideradas en comparación con la escala de tiempo en la que varían los campos.
Por ejemplo, supongamos que hay una corriente que varía en el tiempo en un cable $I(t)$ y deseo encontrar los campos a gran distancia del cable. Mi primer instinto es que esto debería resolverse utilizando las ecuaciones de onda no homogéneas para obtener los campos A y V que dependen del tiempo retardado, lo que conduce a los campos E y B.
Así que mi pregunta es: ¿Están las formas integrales de las ecuaciones de Maxwell intrínsecamente limitadas por esta aproximación, o hay una manera de formularlas para que tengan en cuenta el tamaño finito de una región en los casos en que los campos son variables en el tiempo?