Fórmula cuártica
En matemáticas, el grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios (términos individuales) del polinomio con coeficientes distintos de cero. El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables que aparecen en él, y por tanto es un número entero no negativo. Para un polinomio univariante, el grado del polinomio es simplemente el exponente más alto que aparece en el polinomio[1][2] El término orden se ha utilizado como sinónimo de grado pero, hoy en día, puede referirse a varios otros conceptos (véase orden de un polinomio (desambiguación)).
tiene tres términos. El primer término tiene un grado de 5 (la suma de las potencias 2 y 3), el segundo término tiene un grado de 1, y el último término tiene un grado de 0. Por lo tanto, el polinomio tiene un grado de 5, que es el grado más alto de cualquier término.
es de grado 1, aunque cada sumando tenga grado 2. Sin embargo, esto no es necesario cuando el polinomio se escribe como un producto de polinomios en forma estándar, porque el grado de un producto es la suma de los grados de los factores.
Ecuaciones de álgebra
Gráfica de un polinomio de grado 7, con 7 raíces reales (cruces del eje x) y 6 puntos críticos. Dependiendo del número y la ubicación vertical de los mínimos y máximos, la séptica podría tener 7, 5, 3 o 1 raíz real contada con su multiplicidad; el número de raíces complejas no reales es 7 menos el número de raíces reales.
Como tienen un grado impar, las funciones sépticas parecen similares a las funciones quínticas o cúbicas cuando se grafican, excepto que pueden poseer máximos y mínimos locales adicionales (hasta tres máximos y tres mínimos). La derivada de una función séptica es una función sexta.
Algunas ecuaciones de séptimo grado pueden resolverse mediante la factorización en radicales, pero otras sépticas no. Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podía resolverse mediante radicales que dieron lugar al campo de la teoría de Galois. Para dar un ejemplo de una séptica irreducible pero resoluble, se puede generalizar la quíntica resoluble de Moivre para obtener,
La ecuación séptica general puede resolverse con los grupos de Galois alternos o simétricos A7 o S7.[1] Tales ecuaciones requieren para su solución funciones hiperelípticas y funciones theta asociadas de género 3.[1] Sin embargo, estas ecuaciones no fueron estudiadas específicamente por los matemáticos del siglo XIX que estudiaban las soluciones de las ecuaciones algebraicas, porque las soluciones de las ecuaciones séxticas estaban ya al límite de sus capacidades computacionales sin ordenadores[1].
Grado de un polinomio multivariante
donde a, b, c, d, e y f son miembros de un campo, típicamente los números racionales, los números reales o los números complejos, y a es distinto de cero. En otras palabras, una función quíntica está definida por un polinomio de grado cinco.
Debido a que tienen un grado impar, las funciones quínticas normales parecen similares a las funciones cúbicas normales cuando se grafican, excepto que pueden poseer un máximo local adicional y un mínimo local adicional. La derivada de una función quíntica es una función cuártica.
La resolución de ecuaciones quínticas en términos de radicales (raíces enésimas) fue un problema importante en el álgebra desde el siglo XVI, cuando se resolvían ecuaciones cúbicas y cuárticas, hasta la primera mitad del siglo XIX, cuando se demostró la imposibilidad de dicha solución general con el teorema de Abel-Ruffini.
La resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuádricas por factorización en radicales siempre se puede hacer, independientemente de que las raíces sean racionales o irracionales, reales o complejas; existen fórmulas que dan las soluciones requeridas. Sin embargo, no existe ninguna expresión algebraica (es decir, en términos de radicales) para las soluciones de las ecuaciones quínticas generales sobre los racionales; esta afirmación se conoce como el teorema de Abel-Ruffini, afirmado por primera vez en 1799 y demostrado completamente en 1824. Este resultado también es válido para ecuaciones de grados superiores. Un ejemplo de una quíntica cuyas raíces no pueden expresarse en términos de radicales es x5 – x + 1 = 0.
Grado del polinomio
Ahora que sabemos cómo encontrar los ceros de las funciones polinómicas, podemos utilizarlas para escribir fórmulas basadas en las gráficas. Como una función polinómica escrita en forma factorizada tendrá una intersección en x en la que cada factor es igual a cero, podemos formar una función que pase por un conjunto de intersecciones en x introduciendo el correspondiente conjunto de factores.
Si un polinomio de menor grado p tiene ceros en [latex]x={x}_{1},{x}_{2},\dots ,{x}_{n}[/latex], entonces el polinomio se puede escribir en la forma factorizada: [latex]f\left(x\right)=a{\left(x-{x}_{1}\right)}^{{p}_{1}}{\left(x-{x}_{2}\right)}^{{p}_{2}}\cdots {\left(x- {x}_{n}{d})}^{p}_{n}[/latex] donde las potencias [latex]{p}_{i}[/latex] en cada factor pueden determinarse por el comportamiento de la gráfica en el intercepto correspondiente, y el factor de estiramiento a puede determinarse dado un valor de la función distinto de la intersección x.
Esta gráfica tiene tres intersecciones x: x = -3, 2 y 5. La intersección y está situada en (0, 2). En x = -3 y x = 5, la gráfica pasa por el eje linealmente, lo que sugiere que los factores correspondientes del polinomio serán lineales. En x = 2, la gráfica rebota en el eje x en la intercepción, lo que sugiere que el factor correspondiente del polinomio será de segundo grado (cuadrático). En conjunto, esto nos da