Ejemplos de subespacios vectoriales
Es fácil observar que el conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto dado de vectores es siempre un espacio vectorial. Lo comprobamos en el caso de tres vectores, sea , entonces , para unos números a, b, c, d, f, g. Por tanto, y para cualquier número k, son también combinaciones lineales de , por lo que están en , por lo que estamos ante un espacio vectorial.
Un sistema de vectores que abarca un espacio vectorial dado y que además es linealmente independiente se llama su base. Las bases de un espacio vectorial no son únicas, por ejemplo (la llamada base estándar), y también lo son las bases del plano. Pero en cada base de un espacio vectorial dado se encuentra el mismo número de vectores. Este número se llama la dimensión del espacio vectorial dado y se denota como .
Cada vector del espacio dado es una combinación lineal de vectores de la base. Además, los coeficientes de estas combinaciones están determinados de forma única y se denominan coordenadas. Así, por ejemplo, el vector (1,1) tiene coordenadas 1,1, con respecto a la base y (0,-1) con respecto a la misma base tiene coordenadas -2,-1. Evidentemente, las coordenadas de un vector dado con respecto a una base dada las calculamos resolviendo un sistema de ecuaciones. Ya lo hemos hecho antes al determinar si un vector es una combinación lineal de otros vectores. Esta vez el sistema tendrá siempre exactamente una solución.
Espacio vectorial ai
ResumenEste capítulo contiene las definiciones y hechos básicos sobre los espacios vectoriales, junto con una discusión exhaustiva de la aplicación de los resultados generales sobre los espacios vectoriales a la determinación de las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. El capítulo concluye con una sección opcional sobre la interpretación geométrica de la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales. En la sección 1 se ha dado alguna motivación para la definición de espacio vectorial y los teoremas que se van a demostrar en este capítulo.Palabras claveEstas palabras clave han sido añadidas por la máquina y no por los autores. Este proceso es experimental y las palabras clave pueden actualizarse a medida que mejore el algoritmo de aprendizaje.
Cardinalidad de un vector
En matemáticas, física e ingeniería, un espacio vectorial (también llamado espacio lineal) es un conjunto cuyos elementos, a menudo llamados vectores, pueden sumarse y multiplicarse (“escalarse”) por números llamados escalares. Los escalares suelen ser números reales, pero pueden ser números complejos o, en general, elementos de cualquier campo. Las operaciones de suma de vectores y multiplicación de escalares deben satisfacer ciertos requisitos, llamados axiomas vectoriales. Los términos espacio vectorial real y espacio vectorial complejo se utilizan a menudo para especificar la naturaleza de los escalares: espacio de coordenadas reales o espacio de coordenadas complejas.
Los espacios vectoriales generalizan los vectores euclidianos, que permiten modelar magnitudes físicas, como las fuerzas y la velocidad, que no sólo tienen una magnitud, sino también una dirección. El concepto de espacios vectoriales es fundamental para el álgebra lineal, junto con el concepto de matriz, que permite calcular en espacios vectoriales. Esto proporciona una forma concisa y sintética de manipular y estudiar sistemas de ecuaciones lineales.
Los espacios vectoriales se caracterizan por su dimensión, que, a grandes rasgos, especifica el número de direcciones independientes en el espacio. Esto significa que, para dos espacios vectoriales con la misma dimensión, las propiedades que dependen sólo de la estructura del espacio vectorial son exactamente las mismas (técnicamente los espacios vectoriales son isomorfos). Un espacio vectorial es de dimensión finita si su dimensión es un número natural. En caso contrario, es de dimensión infinita, y su dimensión es un cardinal infinito. Los espacios vectoriales de dimensión finita se dan de forma natural en la geometría y áreas afines. Los espacios vectoriales infinitos aparecen en muchas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, los anillos polinómicos son espacios vectoriales contablemente infinitos, y muchos espacios de funciones tienen como dimensión la cardinalidad del continuo.
Espacios vectoriales con fórmula de dimensión
Un subespacio es un espacio vectorial que está contenido en otro espacio vectorial. Por tanto, todo subespacio es un espacio vectorial por derecho propio, pero también está definido en relación con algún otro espacio vectorial (más grande). En breve descubriremos que ya estamos familiarizados con una gran variedad de subespacios gracias a las secciones anteriores.
En el ejemplo SC3 pasamos por las diez propiedades de los espacios vectoriales antes de creer que un subconjunto era un subespacio. Pero seis de las propiedades fueron fáciles de demostrar, y podemos apoyarnos en algunas de las propiedades del espacio vectorial (el superconjunto) para hacer más fáciles las otras cuatro. He aquí un teorema que facilitará la comprobación de si un subconjunto es un espacio vectorial. Un atajo, si es que alguna vez lo hubo.
Quizá quieras volver a trabajar en el Ejemplo SC3 a la luz de este resultado, quizás viendo dónde podemos ahora economizar o dónde el trabajo realizado en el ejemplo reflejaba la prueba y dónde no. Seguiremos adelante y aplicaremos este teorema en un entorno ligeramente más abstracto.
Puede ser igual de instructivo considerar algunos subconjuntos que no son subespacios. Dado que el teorema TSS es una equivalencia (véase la técnica de demostración E) podemos estar seguros de que un subconjunto no es un subespacio si viola una de las tres condiciones, y en cualquier ejemplo de interés ésta no será la condición de “no vacío”. Sin embargo, puesto que un subespacio tiene que ser un espacio vectorial por derecho propio, también podemos buscar una violación de cualquiera de las diez propiedades definitorias de la definición VS o de cualquier propiedad inherente a un espacio vectorial, como las dadas por los teoremas básicos de la subsección VS.VSP. Obsérvese también que una violación sólo tiene que ser para un vector o par de vectores específico.