Modelo de crecimiento de la población
El crecimiento de la población de la Tierra es uno de los problemas más acuciantes de nuestro tiempo. ¿Seguirá creciendo la población? ¿O tal vez se estabilizará en algún momento, y si es así, cuándo? En esta sección, veremos dos maneras de utilizar las ecuaciones diferenciales para ayudarnos a responder a estas preguntas.
A primera vista, esto parece bastante razonable. Cuando hay un número relativamente pequeño de personas, habrá menos nacimientos y muertes, por lo que la tasa de cambio será pequeña. Cuando el número de personas sea mayor, habrá más nacimientos y muertes, por lo que se espera una mayor tasa de cambio.
Nuestro trabajo en el Ejemplo8.55 muestra que el modelo exponencial es bastante preciso para los años relativamente cercanos al 2000. Sin embargo, si nos adentramos demasiado en el futuro, el modelo predice tasas de cambio cada vez más grandes, lo que hace que la población crezca de forma arbitraria. Esto no tiene mucho sentido, ya que no es realista esperar que la Tierra pueda soportar una población tan grande.
La constante \(k\) en la ecuación diferencial \(\frac{dP}{dt} = kP\) se llama tasa de crecimiento per cápita. En otras palabras, \(k\) es la contribución a la tasa de cambio de la población de una sola persona.
Resolver la ecuación diferencial logística
Los modelos de tiempo continuo suelen adoptar la forma de ecuaciones diferenciales. Dado que se trata de un tema bastante avanzado de las matemáticas que no suele enseñarse por debajo del nivel universitario, empezaremos con una breve introducción a las ecuaciones diferenciales. A continuación, veremos algunos ejemplos de modelos de crecimiento de la población en tiempo continuo, que reflejan los ejemplos en tiempo discreto tratados en la sección anterior. Por último, como propiedades más importantes de los modelos dinámicos, volveremos a examinar los equilibrios y su estabilidad en los modelos de tiempo continuo.
Después de reflexionar un poco y desenterrar alegres recuerdos de las matemáticas de la escuela secundaria, puede encontrar que las soluciones de esta ecuación son \(x=2\) y \(x=-3\). En ecuaciones como ésta, buscamos números que, al insertar una variable (en este caso \(x\)), conviertan la ecuación en un enunciado verdadero. Puede haber una solución, varias soluciones (como en el ejemplo), infinitas soluciones o ninguna solución.
Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones en las que la incógnita no es un número, sino una función. Además, en estas ecuaciones no sólo interviene la función, sino también las derivadas de esa función. Consideremos el siguiente ejemplo:
Modelos de cálculo del crecimiento de la población
El crecimiento de la población de la Tierra es uno de los problemas más acuciantes de nuestro tiempo. ¿Seguirá creciendo la población? ¿O tal vez se estabilizará en algún momento, y si es así, cuándo? En esta sección, veremos dos formas de utilizar las ecuaciones diferenciales para ayudarnos a responder a estas preguntas.
A primera vista, esto parece bastante razonable. Cuando hay un número relativamente pequeño de personas, habrá menos nacimientos y muertes, por lo que la tasa de cambio será pequeña. Cuando el número de personas sea mayor, habrá más nacimientos y muertes, por lo que se espera una mayor tasa de cambio.
Nuestro trabajo en la actividad 7.6.2 muestra que el modelo exponencial es bastante preciso para los años relativamente cercanos al 2000. Sin embargo, si nos adentramos demasiado en el futuro, el modelo predice tasas de cambio cada vez más grandes, lo que hace que la población crezca de forma arbitraria. Esto no tiene mucho sentido, ya que no es realista esperar que la Tierra pueda soportar una población tan grande.
En el modelo exponencial que introdujimos en la actividad 7.6.2, la tasa de crecimiento per cápita es constante. Esto significa que cuando la población es grande, la tasa de crecimiento per cápita es la misma que cuando la población es pequeña. Es natural pensar que la tasa de crecimiento per cápita debería disminuir cuando la población es grande, ya que no habrá suficientes recursos para mantener a tanta gente. Sería un modelo más realista suponer que la tasa de crecimiento per cápita depende de la población \(P\text{.}\}
Problema de valor inicial del crecimiento de la población
El crecimiento de la población de la Tierra es uno de los problemas más acuciantes de nuestro tiempo. ¿Seguirá creciendo la población? ¿O tal vez se estabilizará en algún momento, y si es así, cuándo? En esta sección veremos dos formas de utilizar las ecuaciones diferenciales para ayudarnos a responder a estas preguntas. Antes de empezar, consideremos de nuevo dos importantes ecuaciones diferenciales que hemos visto en trabajos anteriores de este capítulo.
A primera vista, esto parece bastante razonable. Cuando hay un número relativamente pequeño de personas, habrá menos nacimientos y muertes, por lo que la tasa de cambio será pequeña. Cuando el número de personas sea mayor, habrá más nacimientos y muertes, por lo que se espera una tasa de cambio mayor. Si \(P(t)\Nes la población \Nde los años 2000, podemos expresar este supuesto como \N[dfrac{dP}{ dt} = kP \label{eq2}\N].
Nuestro trabajo en la actividad \(\PageIndex{1}) muestra que el modelo exponencial es bastante preciso para los años relativamente cercanos al 2000. Sin embargo, si nos adentramos demasiado en el futuro, el modelo predice tasas de cambio cada vez más grandes, lo que hace que la población crezca de forma arbitraria. Esto no tiene mucho sentido, ya que no es realista esperar que la Tierra pueda soportar una población tan grande.