Ejemplos de ecuaciones diferenciales
Obtenga el máximo viendo este tema en su grado actual. Elige tu curso ahora. IntroducciónLecciones La separación de variables es un método que utilizamos para encontrar una solución general de una ecuación diferencial. El método consiste en separar todas las variables y al lado izquierdo de la ecuación, y mover todas las variables x al lado derecho. Después, integramos ambos lados de la ecuación y luego aislamos para y para encontrar la solución general. Si es demasiado difícil aislar para y, puedes dejar la respuesta tal y como está. También vamos a ver preguntas sobre soluciones particulares. Se trata de soluciones que implican encontrar el valor de la constante, cuando se da un valor inicial.Ecuaciones diferenciales separables
El método de separación de variables consiste en el conjunto de operaciones algebraicas propias aplicadas a una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) que permiten separar los términos de la ecuación en función de la variable que contienen. En otras palabras, este método permite reescribir las “ecuaciones separables” de forma que todos los términos que contienen una de las variables presentes van a un lado del signo de igualdad de la ecuación, mientras que todos los términos pertenecientes a la otra variable presente van al otro lado del signo de igualdad; y así, cada lado de la ecuación queda como una función descrita en términos de una sola variable que puede ser integrada para resolver la propia variable.
Problemas de palabras de ecuaciones diferenciales separables
Por supuesto, tenemos que asegurarnos de que \(h\left( y \right) \ne 0.\N-) Si hay un número \({y_0}) tal que \(h\left( {{y_0}}\right) = 0,\) entonces este número también será una solución de la ecuación diferencial. La división por \(h\left( y \right)\Nhace que se pierda esta solución.
Se puede observar que después de la división podemos perder las soluciones \(y = 0\) y \(y = -2\) cuando \(h\left( y \right)\Nse hace cero. De hecho, veamos que \(y = 0\) es una solución de la ecuación diferencial. Evidentemente,
\N-[\frac{1}{2}\N- izquierda( {\frac{1}{y}} – \frac{1}{y + 2}}\N-derecha)dy} = \N-int {dx} + C,\N;\N-flecha derecha \N-izquierda( {\nint {\frac{dy}}{y}} – \nint {\frac{dy}}{y + 2}} \N-derecha) = \nint {dx} + C,\N;\N-flecha derecha \N-izquierda( {\ln \left| y \right|| – \ln \left| {y + 2}||} \N-derecha) = x + C,\N-flecha derecha \N-flecha derecha \n-izquierda| {\frac{y}{y + 2}} \Flecha derecha: x + C, flecha derecha: izquierda: fraccionamiento de y + 2. \right| = 2x + 2C.\N-]
Aquí la solución general se expresa en forma implícita. En el caso dado, podemos transformar la expresión para obtener la respuesta como una función explícita \(y = f\left( {x,{C_1}\right),\), donde \({C_1}\\Nes una constante. Sin embargo, es posible no hacerlo para todas las ecuaciones diferenciales.
Método separable de ecuaciones diferenciales
A continuación examinaremos una técnica de solución para encontrar soluciones exactas a una clase de ecuaciones diferenciales conocidas como ecuaciones diferenciales separables. Estas ecuaciones son comunes en una amplia variedad de disciplinas, incluyendo la física, la química y la ingeniería. Al final de la sección ilustramos algunas aplicaciones.
La segunda ecuación es separable con y la tercera ecuación es separable con y y el lado derecho de la cuarta ecuación se puede factorizar como por lo que también es separable. La tercera ecuación también se llama ecuación diferencial autónoma porque el lado derecho de la ecuación es una función de solo. Si una ecuación diferencial es separable, entonces es posible resolver la ecuación utilizando el método de separación de variables.
Observe que el paso 4. dice “Resuelva la ecuación resultante para si es posible”. No siempre es posible obtener como función explícita de Muy a menudo tenemos que conformarnos con encontrar como función implícita de
Consideremos un depósito que se llena con una solución salina. Queremos determinar la cantidad de sal presente en el tanque en función del tiempo. Podemos aplicar el proceso de separación de variables para resolver este problema y otros similares que implican concentraciones de soluciones.
Resuelve la ecuación diferencial dada mediante la calculadora de separación de variables
En los apartados 7.2 y 7.3 hemos visto varias formas de aproximar la solución de un problema de valor inicial. Dada la frecuencia con la que surgen las ecuaciones diferenciales en el mundo que nos rodea, nos gustaría tener algunas técnicas para encontrar soluciones algebraicas explícitas de ciertos problemas de valor inicial. En esta sección, nos centramos en una clase particular de ecuaciones diferenciales (llamadas separables) y desarrollamos un método para encontrar fórmulas algebraicas para sus soluciones.
Queremos separar las variables \(t\) y \(y\) de forma que todas las apariciones de \(t\) aparezcan en el lado derecho, y todas las apariciones de \(y\) aparezcan en el izquierdo, multiplicadas por \(dy/dt\text{.}) Para este ejemplo, dividimos ambos lados por \(y\) de forma que
Obsérvese que cuando intentamos separar las variables en una ecuación diferencial, requerimos que uno de los lados sea un producto en el que la derivada \(dy/dt\) sea un factor y el otro factor sea únicamente una expresión que implique \(y\text{.})
Esta ecuación dice que dos familias de antiderivadas son iguales entre sí. Por lo tanto, cuando encontramos las antiderivadas representativas de ambos lados, sabemos que deben diferir en una constante arbitraria \(C\text{.}\} Antidiferenciando e incluyendo la constante de integración \(C\) a la derecha, encontramos que