Resolver una ecuación diferencial en línea
El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan mediante derivadas. Por lo tanto, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es establecer una ecuación que contenga una función desconocida (y=f(x)\Ny su derivada, conocida como ecuación diferencial. La resolución de este tipo de ecuaciones suele proporcionar información sobre cómo cambian las cantidades y, con frecuencia, permite entender cómo y por qué se producen los cambios.
Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden adoptar muchas formas diferentes, incluyendo la solución directa, el uso de gráficos o los cálculos por ordenador. Presentamos las ideas principales en este capítulo y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles.
Consideremos la ecuación \(y′=3x^2,\) que es un ejemplo de ecuación diferencial porque incluye una derivada. Existe una relación entre las variables \(x\) y \(y:y\) es una función desconocida de \(x\). Además, el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de \(y\). Por lo tanto, podemos interpretar esta ecuación como sigue: Partimos de alguna función \(y=f(x)\Ny tomamos su derivada. La respuesta debe ser igual a \(3x^2\). ¿Qué función tiene una derivada que es igual a \(3x^2\)? Una de estas funciones es \(y=x^3\), por lo que esta función se considera una solución de una ecuación diferencial.
Solucionador de ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo de crecimiento y decaimiento simple \ds y =ky\text{.}\)
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesAbrir Live ScriptEste ejemplo muestra cómo utilizar MATLAB® para formular y resolver varios tipos diferentes de ecuaciones diferenciales. MATLAB ofrece varios algoritmos numéricos para resolver una amplia variedad de ecuaciones diferenciales:Problema del valor inicialvanderpoldemo es una función que define la ecuación de van der Pol
La ecuación se escribe como un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden. Estas ecuaciones se evalúan para diferentes valores del parámetro μ. Para una integración más rápida, debe elegir un solucionador adecuado en función del valor de μ.Para μ=1, cualquiera de los solucionadores de EDO de MATLAB puede resolver la ecuación de van der Pol de forma eficiente. El solucionador ode45 es un ejemplo de ello. La ecuación se resuelve en el dominio [0,20] con las condiciones iniciales y(0)=2 y dydt|t=0=0.tspan = [0 20];
title(‘Ecuación de van der Pol, \mu = 1’)Para magnitudes mayores de μ, el problema se vuelve rígido. Esta etiqueta es para problemas que se resisten a ser evaluados con técnicas ordinarias. En su lugar, se necesitan métodos numéricos especiales para la integración rápida. Las funciones ode15s, ode23s, ode23t y ode23tb pueden resolver problemas rígidos de forma eficiente. Esta solución de la ecuación de van der Pol para μ=1000 utiliza ode15s con las mismas condiciones iniciales. Es necesario estirar el lapso de tiempo drásticamente a [0,3000] para poder ver el movimiento periódico de la solución.tspan = [0, 3000];
Ecuaciones diferenciales acopladas
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
El primer caso especial de ecuaciones diferenciales de primer orden que veremos es la ecuación diferencial lineal de primer orden. En este caso, a diferencia de la mayoría de los casos de primer orden que veremos, podemos derivar una fórmula para la solución general. La solución general se deriva a continuación. Sin embargo, le sugerimos que no memorice la fórmula en sí. En lugar de memorizar la fórmula deberías memorizar y entender el proceso que voy a utilizar para derivar la fórmula. En realidad, la mayoría de los problemas son más fáciles de resolver utilizando el proceso en lugar de la fórmula.
Entonces, veamos cómo resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden. Recuerde que a medida que avanzamos a través de este proceso que el objetivo es llegar a una solución que está en la forma \ (y = y\left( t \right)\). A veces es fácil perder de vista el objetivo cuando pasamos por este proceso por primera vez.