Ecuación diferencial no homogénea de primer orden
La solución general de una ecuación no homogénea es la suma de la solución general \({y_0}Izquierda( x \ derecha)\Nde la ecuación homogénea relacionada y una solución particular \N({y_1}Izquierda( x \ derecha)\Nde la ecuación no homogénea:
Si se conoce la solución general \({y_0}\) de la ecuación homogénea asociada, se puede encontrar la solución general de la ecuación no homogénea mediante el método de variación de constantes.
\N – {C’_1}Izquierda( x \NDerecha){Y_1}Izquierda( x \NDerecha) + {C’_2} \{C’_2} izquierda( x derecha){Y_2} izquierda( x derecha) = 0\\N- C’_1} \{C’_1} {Izquierda( x derecha){Y’_1} \izquierda( x derecha) + {C’_2} \{C’_2} {Izquierda( x \ derecha)} {Y’_2} \izquierda (x derecha) = izquierda (x derecha). \N – derecho..\N – derecho]
El lado derecho \N(f\left( x \right)\Nde una ecuación diferencial no homogénea suele ser una función exponencial, polinómica o trigonométrica o una combinación de estas funciones. En este caso, es más conveniente buscar una solución de dicha ecuación utilizando el método de los coeficientes indeterminados.
Ecuación diferencial homogénea y no homogénea
En esta sección examinaremos cómo resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. La terminología y los métodos son diferentes de los que utilizamos para las ecuaciones homogéneas, así que vamos a empezar por definir algunos términos nuevos.
Para demostrar que \(y(x)\Nes la solución general, primero debemos mostrar que resuelve la ecuación diferencial y, segundo, que cualquier solución de la ecuación diferencial puede escribirse de esa forma. Sustituyendo \(y(x)\Nen la ecuación diferencial, tenemos
por lo que \(z(x)-y_p(x)\Nes una solución de la ecuación complementaria. Pero, \(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\ es la solución general de la ecuación complementaria, por lo que existen las constantes \(c_1\) y \(c_2\) tales que
En el apartado anterior hemos aprendido a resolver ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Por tanto, para las ecuaciones no homogéneas de la forma \(ay″+by′+cy=r(x)\), ya sabemos cómo resolver la ecuación complementaria, y el problema se reduce a encontrar una solución particular para la ecuación no homogénea. A continuación examinamos dos técnicas para ello: el método de los coeficientes indeterminados y el método de la variación de los parámetros.
Ecuación diferencial no homogénea con coeficientes constantes
En esta sección examinamos cómo resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas. La terminología y los métodos son diferentes de los que utilizamos para las ecuaciones homogéneas, así que vamos a empezar por definir algunos términos nuevos.
Para demostrar que y(x)y(x) es la solución general, primero debemos mostrar que resuelve la ecuación diferencial y, segundo, que cualquier solución de la ecuación diferencial puede escribirse en esa forma. Sustituyendo y(x)y(x) en la ecuación diferencial, tenemos
por lo que z(x)-yp(x)z(x)-yp(x) es una solución de la ecuación complementaria. Pero, c1y1(x)+c2y2(x)c1y1(x)+c2y2(x) es la solución general de la ecuación complementaria, por lo que hay constantes c1c1 y c2c2 tales que
En el apartado anterior hemos aprendido a resolver ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes. Por lo tanto, para las ecuaciones no homogéneas de la forma ay″+by′+cy=r(x),ay″+by′+cy=r(x), ya sabemos cómo resolver la ecuación complementaria, y el problema se reduce a encontrar una solución particular para la ecuación no homogénea. A continuación examinamos dos técnicas para ello: el método de los coeficientes indeterminados y el método de la variación de los parámetros.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales no homogéneas
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo apaisado. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
donde \(g(t)\Nes una función no nula. Tenga en cuenta que no fuimos con coeficientes constantes aquí porque todo lo que vamos a hacer en esta sección no lo requiere. Además, estamos usando un coeficiente de 1 en la segunda derivada sólo para hacer algo del trabajo un poco más fácil de escribir. No es necesario que sea un 1.
Supongamos que \ (Y_{1}(t)\) y \ (Y_{2}(t)\) son dos soluciones de \(\eqref{eq:eq1}) y que \ (y_{1}(t)\) y \ (y_{2}(t)\) son un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada \(\eqref{eq:eq2}) entonces,
Nótese la notación utilizada aquí. Las mayúsculas se refieren a las soluciones de \(\eqref{eq:eq1}\) mientras que las minúsculas se refieren a las soluciones de \(\eqref{eq:eq2}\). Esta es una convención bastante común cuando se trata de ecuaciones diferenciales no homogéneas.