Sistema de ecuaciones diferenciales no lineales
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\tau ^{2}}=-Q+{\frac {2}{3}{lambda Q^{2}}-{\frac {14}{27}{lambda ^{2}Q^{3}+\mu (1- Q^{2}){\frac {dQ}{d\tau }}+{\frac {2}{3}\lambda (1-\lambda Q)^{2}}({\frac {dQ}{d\tau }}{d})
{\displaystyle {\frac {d^2}y}{dt^{2}}=left({\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}right)\left({\frac {dy}{dt}}right)^{2}- {\frac {1}{t}} {\frac {dy}{dt}}+{\frac {(y-1)^{2}}{t^{2}}left(\alpha y+{\frac {beta }{y}}right)+\gamma {\frac {y}{t}+\delta {\frac {y(y+1)}{y-1}}
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}={\frac {1}{2}}left({\frac {1}{y}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-t}}right)^{2}-left({\frac {dy}{dt}}right)^{2}}({\frac {1}{t}+{{\frac {1}{t-}) 1}+{\frac {1}{y-t}} {{derecho)} {\frac {dy}{dt}+{{frac {y(y-1)(y-t)}{t^{2}(t-1)^{2}}left(\alpha +{beta} {\frac {t}{y^{2}}+{gamma} {\frac {t-1}{(y-1)^{2}}+{delta} {{t(t-1)}{(y-t)^{2}} {{derecho)}
Ecuaciones diferenciales ordinarias
La linealización es el proceso de tomar el gradiente de una función no lineal con respecto a todas las variables y crear una representación lineal en ese punto. Es necesario para ciertos tipos de análisis, como el análisis de estabilidad, la solución con una transformada de Laplace y para poner el modelo en forma de espacio de estado lineal. Considere un modelo de ecuación diferencial no lineal que se deriva de las ecuaciones de equilibrio con la entrada u y la salida y.
Si los valores de `\bar u` y `\bar y` se eligen en condiciones de estado estacionario entonces `f(\bar y, \bar u)=0` porque el término de la derivada `{dy}/{du}=0` en estado estacionario. Para simplificar la expresión linealizada final, las variables de desviación se definen como `y’ = y-\bar y` y `u’ = u – \bar u`. Una variable de desviación es un cambio de las condiciones nominales de estado estacionario. La derivada de la variable de desviación se define como `{dy’}/{dt} = {dy}/{dt}` porque `{d\bar y}/{dt} = 0` en `{dy’}/{dt} = {d(y-\bar y)}/{dt} = {dy}/{dt} – \cancelar{{d\bar y}/{dt}`. Si hay variables adicionales como una variable de perturbación `d` entonces se añade como otro término en forma de variable de desviación `d’ = d – \bar d`.
Ecuación diferencial corta
Visualización de la transferencia de calor en la carcasa de una bomba, creada mediante la resolución de la ecuación del calor. El calor se genera internamente en la carcasa y se enfría en el límite, proporcionando una distribución de temperatura en estado estacionario.
En matemáticas, una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o más funciones desconocidas y sus derivadas[1] En las aplicaciones, las funciones generalmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación diferencial define una relación entre ambas. Estas relaciones son comunes; por lo tanto, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en muchas disciplinas, como la ingeniería, la física, la economía y la biología.
El estudio de las ecuaciones diferenciales consiste principalmente en el estudio de sus soluciones (el conjunto de funciones que satisfacen cada ecuación), y de las propiedades de sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas pueden resolverse mediante fórmulas explícitas; sin embargo, muchas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin calcularlas exactamente.
Solucionador de odas no lineales
En esta sección comparamos las respuestas a las dos preguntas principales de las ecuaciones diferenciales para las ecuaciones diferenciales de primer orden lineales y no lineales. Recordemos que para una ecuación diferencial lineal de primer orden
entonces podemos resolver de forma única para \(C\) para obtener una solución. Esto demuestra inmediatamente que existe una solución para todas las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Esto también establece la unicidad ya que la derivación muestra que todas las soluciones deben ser de la forma anterior. Nótese que si la constante de integración para \(m\) se elige diferente de 0, entonces la constante se cancela a sí misma del exponente negativo fuera de la integral y del exponente positivo dentro. Esto demuestra que las respuestas a las dos preguntas clave son afirmativas para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.