Calculadora de ecuaciones diferenciales de Laplace
En este trabajo, consideramos el problema de valor inicial para una ecuación diferencial lineal de segundo orden con retardo. Utilizamos el método de la transformada de Laplace para resolver este problema. Además, presentamos ejemplos que apoyan los resultados teóricos.
C. T. H. Baker, G. A. Bocharov, C. A. H. Paul y F. A. Rihan, Modelling and analysis of time-lags in some basic patterns of cell proliferation, Journal of Mathematical Biology 37(4) (1998), 341 – 371, DOI: 10.1007/s002850050133.
A. Bellen, S. Maset, M. Zennaro y N. Guglielmi, Recent trends in the numerical solution of retarded functional differential equations, Acta Numerica 18 (2009), 1 – 110, DOI: 10.1017/S0962492906390010.
A. Bellen y M. Zennaro, Numerical Methods for Delay Differential Equations, Oxford, Oxford University Press (2003), URL: https://global.oup.com/academic/product/numerical-methods-for-delay-differential-equations-9780198506546.
L. Berezansky, A. Domoshnitsky, M. Gitman y V. Stolbov, Exponential stability of a second order delay differential equation without damping term, Applied Mathematics and Computation 258 (2015), 483 – 488, DOI: 10.1016/j.amc.2015.01.114.
Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de laplace pdf
Estos son ejercicios de tarea para acompañar el mapa de texto “Ecuaciones diferenciales para ingeniería” de Libl. Se trata de un libro de texto destinado a un primer curso semestral sobre ecuaciones diferenciales, dirigido a estudiantes de ingeniería. El prerrequisito para el curso es la secuencia de cálculo básico.
Pensemos en el sistema masa-muelle con un cohete del ejemplo 6.2.2. Observamos que la solución sigue oscilando después de que el cohete deja de funcionar. La amplitud de la oscilación depende del tiempo en que el cohete fue disparado (durante 4 segundos en el ejemplo).
Supongamos que tenemos una viga de longitud \(1\) simplemente apoyada en los extremos y supongamos que la fuerza \(F=1\) se aplica en \(x=\frac{3}{4}\ en la dirección hacia abajo. Supongamos que \(EI=1\) para simplificar. Encuentre la deflección de la viga \(y(x)\N.)
Encontrar el correspondiente problema de EDO para \(Y(x)\), después de transformar la variable \(t\) \[\begin{aligned} & y_{tt} + 3y_{xx} + y_{xt} + 3 y_x + y = \sin(x) + t, \qquad 0 < x < 1, \enspace t > 0, \ y(0,t) = 1, \quad y(1,t) = t, \quad y(x,0) = 1-x, \quad y_t(x,0) = 1 .\end{aligned}] No resolver el problema.
Tabla de transformación de Laplace
Ya se ha mencionado en la lección introductoria que, matemáticamente hablando, utilizamos el término transformaciones cuando nos referimos a trucos ingeniosos en matemáticas que permiten cambiar un problema de metodología de nivel superior a algo más sencillo, como el álgebra.
Este es exactamente el caso de nuestra lección de hoy, en la que utilizaremos la transformación de Laplace para descomponer una ecuación diferencial lineal de orden superior, separar sus términos, simplificarlos y luego trabajarlos para obtener una expresión para la solución implícita de la ecuación diferencial.
Para calcular dicho resultado, primero calcularemos las dos ecuaciones principales que se utilizarán a lo largo del proceso, estas ecuaciones que recomendamos aprender y tenerlas a mano, son las que se muestran en la ecuación 6. Después explicaremos los cálculos en una lista de pasos y terminaremos resolviendo algunos ejemplos sobre el tema.
Así pues, ya hemos tenido una introducción a la transformada de Laplace e incluso una lección sobre cómo calcular expresiones de Laplace por un método sencillo de comparación. Ahora es el momento de ver cómo nos ayudan estas transformaciones al resolver ecuaciones diferenciales.
Ejercicio y solución de la transformada de Laplace pdf
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Antes de pasar a las ecuaciones diferenciales necesitaremos una fórmula más. Necesitaremos saber cómo tomar la transformada de Laplace de una derivada. En primer lugar recordar que \ (f^(n)}\) denota el \ (n^\mbox{th}\) derivada de la función \ (f\). Ahora tenemos el siguiente hecho.
\N-[\Mathcal{L}\N-izquierda{{f^{left( n \\N-derecha)}} \right\} = {s^n}F\left( s \right) – {s^{n – 1}}f\left( 0 \right) – {s^{n – 2}}f’\left( 0 \right) – \cdots – s{f^{izquierda( {n – 2} \right)}\c izquierda( 0 \right) – {f^{izquierda( {n – 1} \right)}\c izquierda( 0 \right)\c]
\[\begin{align*}\mathcal{L}\left\{ {y’} \& = sIzquierda( sD) – yIzquierda( 0D)\N -mathcal{L} {Izquierda{y”} & = sIzquierda( sD) – yIzquierda( 0D)\N-. \& = {s^2}Izquierda( s \ derecha) – izquierda( 0 \ derecha) – izquierda( 0 \ derecha)\N-end{align*}]