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En muchos campos como la física, la biología o la empresa, a menudo se conoce o se supone una relación entre alguna cantidad desconocida y su tasa de cambio, que no implica ninguna derivada superior. Por lo tanto, es interesante estudiar las ecuaciones diferenciales de primer orden en particular.
Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación de la forma \(F(t, y, y’)=0text{.}\) Una solución de una ecuación diferencial de primer orden es una función \(f(t)\) que hace que \ds F(t,f(t),f'(t))=0\) para todo valor de \(t\text{. Se entiende que la variable \ds F(t,f(t,f’))=0) para cualquier valor de \text{…}) Aquí, \ds F es una función de tres variables que etiquetamos como \text{,}) \ts{,} y \ts{,}) Se entiende que \ts{,} aparecerá explícitamente en la ecuación, aunque \ts{,t} y \ts{,y} no es necesario. La propia variable \(y\) depende de \(t\text{,}\) por lo que se entiende que \(y’\) debe ser la derivada de \(y\) con respecto a \(t\text{,}\) Dado que sólo aparece la primera derivada de \(y\), pero ninguna derivada de orden superior, se trata de una ecuación diferencial de primer orden.
Solucionador de ecuaciones diferenciales
La forma específica de una ecuación diferencial linealAquí hablaremos de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Recordemos de la introducción a esta sección que se trata de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO).
Una ecuación diferencial lineal de primer orden se expresará de la forma [A] donde “P(x)” y “Q(x)” son funciones de “x”, la variable independiente. Vamos a hablar de cómo resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden.
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Transformación de ecuaciones diferenciales en sistemas de primer orden
Como indica el mensaje, NDSolve no resolvió explícitamente las derivadas porque Solve había superado la restricción de tiempo por defecto de un segundo. La cantidad de tiempo que NDSolve emplea en obtener una expresión explícita puede ser controlada utilizando la opción “TimeConstraint”.Utilice la opción subopción “TimeConstraint” para controlar la cantidad de tiempo en segundos que NDSolve emplea en obtener una expresión explícita:
donde hay una masa en el punto restringido por una cuerda de longitud . es un multiplicador de Lagrange que es efectivamente la tensión en la cuerda. Para simplificar la descripción de la reducción del índice, se toma . La figura muestra el esquema del sistema de péndulo.
Esquema de las fuerzas que actúan sobre un péndulo.Si el índice del sistema no es obvio a partir de las ecuaciones, una cosa que se puede hacer es probarlo en NDSolve, y si el solucionador no es capaz de resolverlo, en muchos casos es capaz de generar un mensaje indicando cuál parece ser el índice para las condiciones iniciales especificadas.Defina las ecuaciones y un conjunto completo de valores iniciales para el sistema de péndulo restringido:Intente resolver el sistema de péndulo restringido:
Sistema de ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una ecuación de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo de crecimiento y decaimiento simple \ds =ky\text{.}\)
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en la forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.